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Bahngeschwindigkeit der Erde

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von DerRabauke, 28 Januar 2009.

  1. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Single
    Gegeben sind die mittlere Entfernung Erde-Sonne (1,496*10^8 km), die Enternung der Erde in Sonnennähe (1,47*10^8 km) und die Entfernung der Erde in Sonnenferne (1,519*10^8 km)!
    Wir rechnen mit 1a = 365,242 d !

    Wie groß ist nun die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne in Sonnenähe und -ferne?
    Kann ich da irgendwie mit dem dritten Kepler'schen Gesetz rangehen?
     
    #1
    DerRabauke, 28 Januar 2009
  2. physicist
    physicist (30)
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    Also wenn dann hilft dir da das erste und/oder zweite aber nicht das dritte Kepplersche Gesetz.
    Vermutlich geht das irgendwie mit Energieerhaltung (E_kin + E_pot überall auf der Bahn konstant).
     
    #2
    physicist, 28 Januar 2009
  3. User 9402
    Meistens hier zu finden
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    vergeben und glücklich
    Hi,

    die Geschwindigkeit kannst Du durch Gleichsetzen der Gravitationskraft Fg der Sonne auf die Erde und die Fliehkraft (Zentrifugalkraft) Fz ausrechnen.

    Fg = G * mS * mE / r²
    Fz = mE * v² / r

    Fg = Fz und das ganze nach v auflösen.

    G = Gravitationskonstante (6,67*10^-11 m^3/kg*s²)
    mS = Masse der Sonne (1,98 * 10^30 kg)
    mE = Masse der Erde (5,974 * 10^24 kg)
    r = Radius der Umlaufbahn (ca. 149*10^6 km)

    Als Ergebnis sollte ca. 30 km/s betragen.
     
    #3
    User 9402, 28 Januar 2009
  4. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Single
    Die Massen von Erde und Sonne sind aber leider nicht gegeben, also vermute ich, darf ich damit auch nicht rechnen.

    Ich stehe mal wieder vor einem riesen Dilemma... :grin:
     
    #4
    DerRabauke, 28 Januar 2009
  5. xela
    Gast
    0
    Ganz einfach: Du nimmst näherungsweise an, daß die Bahn der Erde um die Sonne ein Kreis ist. Der Radius dieses Kreises ist ja gegeben. Damit kennst du aber auch dessen Umfang. Diese Strecke wird in einem Jahr (1a) durchlaufen. Umfang durch 1a ergibt dir die Durchschnittsgeschwindigkeit.

    Das heißt: v = 2πr/t

    r = Radius der Bahn der Erde um die Sonne = 1,469*10^8km
    t = 1a

    Und die Einheiten dann z. B. in km/s umwandeln.
     
    #5
    xela, 28 Januar 2009
  6. Event Horizon
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    vergeben und glücklich
    Hallo!

    @Finalizer:

    Das ist leider falsch.

    Wenn im erdnahen Punkt zwischen den beiden Kräften exaktes Gleichgewicht herrschen würde, würde die Erde sich auf einer Kreisbahn mit eben diesem Radius bewegen.

    Tatsächlich ist die Geschwindigkeit aber größer, sodaß die Zentrifugalkraft überwiegt, und die Erde sich infolge dessen von der Sonne entfernt.

    Hat die Erde dann den erdfernen Punkt erreicht, so ist sie langsamer, als deine Rechnung ergäbe (die würde wieder für ne Kreisbahn gelten!), und die Gravitation überwiegt. Die erste wird wieder zur Sonne hin gezogen.

    So kommt die Ellipsenbahn zustande.


    @xela: Man kann die Erdbahn näherungsweise als Kreisbahn annehmen, das klappt ganz gut. Hier wird aber EXPLIZIT nach den Werten auf der Ellipsenbahn gefragt, und das ergibt zwei unterschiedliche Werte, und nicht nur einen. Daher gilt das hier auch nicht.



    Theoretisch kann man das mit Kepler rechnen. Die Umlaufzeit ist bekannt, und aus den gegebenen Daten müßte sich die Fläche der Ellipse berechnen lassen.

    Aber ich frage mal lieber zunächst: Was hast du für Grundlagen? In welchem Fach o.ä. wird die Frage gestellt?
     
    #6
    Event Horizon, 28 Januar 2009
  7. xela
    Gast
    0
    Dann fehlen aber noch zwei Angaben in der Aufgabenstellung, nämlich die Entfernung der Erde von der Sonne im Aphel und im Perihel. Solange man die nicht kennt, sind alle Überlegungen umsonst.
     
    #7
    xela, 28 Januar 2009
  8. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    So lies die Worte des Rabauken:

     
    #8
    Event Horizon, 28 Januar 2009
  9. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Quasi keine Grundlagen.
    Unser Physik-Prof hat uns die Aufgabe gestellt mit dem getuschelten Hinweis, wir sollten uns mal die kepler'schen Gesetze ansehen.


    Achja, wir gehen hier DEFINITIV NICHT von einer Kreisbahn oder annähernden Kreisbahn aus. Es wird klar nach den Geschwindigkeiten auf einer Elipse gefragt.
     
    #9
    DerRabauke, 28 Januar 2009
  10. virtualman
    virtualman (32)
    Benutzer gesperrt
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    Single
    Die mittlere Bahngeschwindlichkeit beträgt 29,78 km/s, was einer Komplettumlaufzeit von ca. 365,256 Tagen ergibt!

    Das weiß doch jeder ....:grin:
     
    #10
    virtualman, 28 Januar 2009
  11. xela
    Gast
    0
    In dem Fall brauchst du aber noch unbedingt die Entfernung der Erde von der Sonne im Aphel und im Perihel. Ohne diese beiden Entfernungen kommst du nicht weiter.

    Hoppla, die habe ich doh tatsächlich übersehen.

    In dem Fall ist es so, daß man sich folgenden Energiesatz zunutze machen kann:

    Und zwar gilt, daß die Energie der Erde auf ihrer Ellipsenbahn, also E_kin+ E_pot, exakt gleich der Energie ist, die sie hätte, wenn sie sich auf einer exakten Kreisbahn mit einem Radius, der dem mittlerem Radius auf der Ellipsenbahn entspricht, bewegen würde.
     
    #11
    xela, 28 Januar 2009
  12. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    103
    6
    Single

    Ist diese Antwort nicht totaler Blödsinn?
    Schließlich habe ich geschrieben 1a = 365,242

    Dazu kann ich nun absolut nichts sagen. Keine Ahnung ob man die beiden Entfernungen ausrechnen kann, gegeben sind sie jedenfalls nicht.

    Kann ich die Bahngeschwindigkeiten evtl. ohne kepler'sche Gesetze bestimmen? Durch einfache Grundlagen der Kinetik oder dergleichen?
     
    #12
    DerRabauke, 28 Januar 2009
  13. xela
    Gast
    0
    Doch, sie sind gegeben, ich hatte das nur vorhin übersehen. Der Aphel ist gerade der sonnenfernste Punkt und der Perihel ist gerade der sonnennähste Punkt. Für beide Entfernungen hast du in deinem ersten Post Werte angegeben.

    Meine Lösungsidee käme vollkommen ohne Keplersche Gesetze aus und verwendet nur den Satz, daß Bahnen mit der gleichen großen Hauptachse die gleiche Energie haben. (Dieser Satz ist allerdings nicht mal eben so zu beweisen, sondern da müßte man sich ein bißchen Mühe gegeben. Das ist damit auch leider der Haken an meinem Lösungsvorschlag.)

    Entscheidend ist, daß man dann folgende Gleichung hätte:

    E_kin + E_pot = m_E*v²/2 - γ*m_E*m_S/r = const = Energie auf Kreisbahn mit derselben großen Hauptachse, also insbesondere z. B. Kreisbahn mit der großen Halbachse als Radius


    Damit ist v = Wurzel aus(2*const/m_E + 2*γ*m_S/r)

    Für r setzt du jeweils die Entfernung im Perihel und im Aphel ein und erhältst so die gesuchten jeweiligen Geschwindigkeiten, vorausgesetzt, du kennst auch den Wert von "const".

    "const" ist aber wie gesagt die Energie, die die Erde auf einer Kreisbahn hätte, die die mittlere Entfernung als Radius hat. Die müßtest du in dem Fall auch zuerst bestimmen. "const" wäre dabei wieder die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie, nur eben auf der Kreisbahn. Hier käme dann also die mittlere Geschwindigkeit ins Spiel, die man wie in meinem ersten Beitrag angegeben berechnet und der mittlere Abstand der Erde zur Sonne, der aber laut Aufgabenstellung gegeben ist.

    Ich habe aber die starke Vermutung, daß dein Prof das ganz anders gelöst haben will.
     
    #13
    xela, 29 Januar 2009
  14. virtualman
    virtualman (32)
    Benutzer gesperrt
    1.001
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    5
    Single
    nein es sind 365,256! Das habe ich schon mehrmals gelesen!
     
    #14
    virtualman, 29 Januar 2009
  15. xela
    Gast
    0
    So, ich habe noch einmal nachgedacht, wie man die Aufgabe so löst, wie es dein Prof anscheinend möchte. Im Prinzip haben physicist und Event Horizon hierzu bereits die entscheidenden Hinweise gegeben.

    Du brauchst einzig und allein das erste Keplersche Gesetz (Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einen Brennpunkt sich die Sonne befindet) und das zweite Keplersche Gesetz (Die "Flächenüberstreichrate" der Verbindungslinie Planet-Sonne ist konstant). Irgendwelche Energieerhaltungssätze brauchst du hingegen nicht.

    Gegeben sind drei Größen: der maximale Abstand Erde-Sonne, bezeichnen wir diesen mit r_max; der minimale Abstand Erde-Sonne, bezeichnen wir diesen mit r_min; und die Umlaufzeit der Erde, die wir mit T bezeichnen wollen.

    Wir haben dabei folgende Werte gegeben:

    r_max = 1,519*10^8km
    r_min = 1,47*10^8km
    T = 1a

    Als erstes machst du dir das erste Keplersche Gesetz zunutze und bestimmst unter Ausnutzung der Tatsache, daß sich die Sonne in einem der beiden Ellipsenbrennpunkte befindet, die beiden Ellipsenparameter a und b der Planetenbahn in Abhängigkeit von r_max und r_min. Hierbei ist a die große Halbachse der Ellipse und b die kleine Halbachse der Ellipse.

    Die Bestimmung von a und b aus r_min und r_max ist hierbei eine rein geometrische Angelegenheit.

    Da du nun a und b kennst, kennst du auch die Fläche der Ellipse. Da außerdem T gegeben ist, kannst du so nun den Wert der "Flächenüberstreichrate" bestimmen.

    Jetzt kommt der entscheidende Schritt, wo das zweite Keplersche Gesetz zur Anwendung kommt. Du kennst einerseits bereits aus dem vorangegangenen Schritt die "Flächenüberstreichrate". Andererseits überlegst du dir, wie die "Flächenüberstreichrate" ist, wenn sich die Erde bspw. im Abstand r_min mit der Geschwindigkeit v bewegt. Beide Ausdrücke für die "Flächenüberstreichrate" setzt du nun gleich und löst das Ganze nach v auf und ermittelst so den Wert von v. Dasselbe tust du nun erneut für r_max.
     
    #15
    xela, 29 Januar 2009
  16. Neo2001
    Neo2001 (36)
    Verbringt hier viel Zeit
    193
    103
    19
    nicht angegeben
    Etwas vereinfacht (aber nicht zu sehr):

    Am sonnennächsten und sonnenfernsten Punkt steht der Geschwindigkeitsvektor senkrecht auf der Verbindung Sonne-Erde. Deshalb muss in beiden Fällen das Produkt Abstand*Geschwindigkeit (ungefähr, aber ziemlich genau) gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit*Durchschnittsabstand sein (zweites Keplersches Gesetz; glaube ich). Letzteren Wert kriegst du ja sehr einfach raus, damit ist der Rest zwei Gleichungen mit je einer Unbekannten.
     
    #16
    Neo2001, 29 Januar 2009

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