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Bräuchte n' bissle Hilfe bei diskreter Fourier-Analyse

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von Schulerbible, 23 Mai 2005.

Stichworte:
  1. Schulerbible
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Hallo,

    Für den folgenden Aufgabentyp müßte ich noch ein SChema F schreiben (diskrete Fourieranalyse), doch leider blick schon beim Ansatz nicht mehr durch, wie geht man da am Besten vor?

    Hier die Ausgangsfunktion:

    f(x) = 2x - 1 x Element (0 , 2) + periodische Fortsetzung

    Diese Funktion ist nicht Symmetrisch und ich müßte doch somit
    a0, an und bn berechnen, oder?

    Wie kommt man dann zu dieser Lösung :ratlos: :ratlos: :

    p: steht für pi = 3,1415 ...

    2x - 1 = 1 - 4/p * [ sin(px)/1 + sin(2px)/2 + sin(3px)/3 + .... ]

    kann mir das jemand mal bitte verständlich erklären, wenns geht ohne mathematisches Wirrwar!?

    Danke erstmal

    tobi :zwinker:
     
    #1
    Schulerbible, 23 Mai 2005
  2. beefhole
    Verbringt hier viel Zeit
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    nicht angegeben
    du meinst die fourier reihenzerlegung oder ?

    ich verstehe die angabe mit dem element nicht wirklich koenntest du das mal mit dem hier in ne eindeutig lesbare form bringen ?

    edit:

    ah grade hab ich gechekt was das element da soll ... mach lieber mal nen ";" oder gleich n newline hinter die angabe der funktion ...

    edit2:

    also ... die funktion ist eine einfache geradedie von (0;-1) auf (2;3) in einer periode ansteigt ... wenn du die aneinanderhaengst kriegst du nen saegezahn ...
    wenn du dir das vorstellst oder aufzeichnest wird direkt klar dass der saegezahn nen gleichanteil von +1 hat ...
    abzueglich des gleichanteils ist die funktion ungerade also enthaelt die reihe nur sinus terme die cosinusterme entfallen allesamt ...
    und de rest ist entweder rechnerei oder nachkucken im bronstein ...
     
    #2
    beefhole, 23 Mai 2005
  3. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Kannst du mal genau sagen, was du mit 1 x Element (0 , 2) meinst? Sollen das die Grenzen sein?

    Wenn du damit die Grenzen meinst, also daß die Periode zwischen 0 und 2 ist, dann ist das Ding doch ganz klar eine Sägezahnkurve, und somit Punktsymmetrisch. Demnach fallen alle COS-terme weg. Bleiben die Sin-Terme.

    Für die Fouriertrafo gilt:

    f(x)=0,5*a0+ Summe über n (an*cos(2p/L*x) + bn*sin(2p/L*x)

    Der COS und SIN-Term muß genauso periodisch verlaufen wie die Funktion. L ist die Periodenlänge, und wenn x einmal die Periode durchläuft, müssen die Argumente von SIN und COS vielfache von 2p durchlaufen. OK?

    Jetzt rechnen wir mal:

    a0= integral[0->2](2x-1)dx =2 Das paßt also schonmal.
    Das Integral läuft von der unteren Grenze einer Periode zur oberen Grenze derselbigen. Es gibt noch den Vorfaktor 2/L, der aber hier wohl 1 ist.

    an sind Kosinüsse, und verschwinden daher.

    bn=integral[0->2]((2x-1)*sin(pnx))dx

    Auch hier ist der Vorfaktor wieder 1, und das Argument des SIN ist 2pnx/L=pnx

    Das problem ist, dieses Integral auszurechnen, aber das wirst du schon schaffen, schließlich beschäftigt ihr euch mit Fourier. Du erhälst einen ganzen Haufen Sinüsse und Cosinüsse:

    -2*(-2sin(np)cos³(np)+sin(np)cos(np)+6npcos^4(np)-6npcos²(np)+np)/n²p²

    Da n aber ganzzahlig sind, kannst du sie gut ausrechnen. cos(np) ist nämlich immer 0. sin(np) ist immer +1 oder -1, aber das brauchst du hier gar nicht erst. Es ergibt sich nämlich nur noch -2/(np)

    Jetzt nur noch zusammensetzen:
    f(x)=0,5*a0+ Summe über n (an*cos(2p/L*x) + bn*sin(2p/L*x)
    f(x)=1 + (-2/p*sin(px) -2/(2p)*sin(2px)-2/(3p)*sin(3px)-2/(4p)*sin(4px)-...)
    f(x)=1-2/p*[sin(px)+sin(2px)/2+sin(3px)/3+...]

    Ich habe jetzt -2/p raus, wieso bei dir jetzt -4/p steht, weiß ich grade nicht. Ich hab grad ein mein Buch geguckt, die machen das genauso wie ich.

    Also nochmal zusammenfassend:

    1. Du brauchst deine Funktion, und ihr Intervall, in dem sie sich stets wiederholt

    2. Setze die Fouriersumme an:

    f(x)=0,5*a0+ Summe über n [(an*cos(2p/L*x) + bn*sin(2p/L*x)]

    Achte darauf, daß die Argumente innerhalb einer Periode auch genau vielfache von 2p durchlaufen! Hier ist L die Periodenlänge, dann klappt es auf jeden Fall.

    3. Berechne

    an=2/L Integral über L (f(x)*cos(2npx/L)dx)

    Auch hier: Am Anfang wird durch die periodenlänge geteilt, das Integral läuft über eine Periode, und der COS muß auch hier wieder vielfache von 2p bekommen.

    Das Integral ist meistens unangenehm, und lang. Werte das Integral danach aus!

    cos(npx)=0 (immer!)

    sin(npx)=+1 für garde n und -1 für ungrade n

    Hierdurch dampft das zu einem sehr einfachen Ausdruck zusammen.

    4. Berechne auch bn, nach dem gleichen Schema wie oben, jedoch mit dem SIN drin.

    5. setze die Koeffizienten in den Ansatz ein. Am einfachsten ist es, einfach die ersten Zahlen einzusetzen (denk an das Vorzeichen, das sich ändern kann)

    et voila!






    Ich hoffe, du konntest dem einigermaßen folgen, leider kann man Fouriertransformationen nur schwer in Worte fassen.
     
    #3
    Event Horizon, 23 Mai 2005
  4. Schulerbible
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    0
    Single
    Super, vielen vielen Dank für die schnelle Lösung. :gluecklic Sorry, ich wußte nicht wie ich das Element Zeichen hinschreiben soll.

    Das sollte heißen x ist Element aus Grenzen (0 , 2)

    Gruß tobi :zwinker:
     
    #4
    Schulerbible, 24 Mai 2005
  5. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    0
    vergeben und glücklich
    Nun, jetzt kann man mit der Bezeichnung auch wsa anfangen!

    Noch ein kleiner Nachtrag:
    * Es ist egal, welche Integrationsgrenzen du jetzt tatsächlich nimmst, hauptsache, der Bereich, über den das Integral geht, ist so lang wie eine Periode. Demanch legt man den sich möglichst schön hin.
    * Wenn du z.B. ne Rechteckkurve transformierst, ist die ja an einer Stelle nicht differenzierbar. Also teilst du die Integrale an dieser Stelle in jeweils zwei auf.
     
    #5
    Event Horizon, 24 Mai 2005

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