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Flächenanteil

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von bebegirl, 17 Oktober 2007.

  1. bebegirl
    Verbringt hier viel Zeit
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    101
    0
    Single
    Hallo zusammen,

    ich habe mal gerade eine Verständnisfrage und zwar, wenn man ein regelmäßiges Achteck hat und in der Mitte von diesem befindet sich ein markiertes Rechteck, dann ist doch das markierte Rechteck genauso groß wie die zwei Trapezflächen zusammen, also d.h. es nimmt genau die Hälfte der ganzen Achtecksfläche ein, oder?

    Wie sähe das dann eigentlich beim regelmäßigen Sechseck und Zehneck aus?
    :confused_alt:

    Gruß bebe
     
    #1
    bebegirl, 17 Oktober 2007
  2. duder
    duder (31)
    Verbringt hier viel Zeit
    5
    86
    0
    in einer Beziehung
    Also ich geh davon aus, dass du das Rechteck meinst, das von zwei gegenüberliegenden Achteckseiten und den darauf senkrecht stehenden Diagonalen des Achtecks gebildet wird.
    Ich hab das mal ne Minute angeschaut, und wenn ich mich nicht verrechnet hab, hast du recht. Ich komm, wenn das Achteck die Seitenlänge a hat, auf eine Rechtecksfläche von a^2*(1 + sqrt(2)) und die Summe der beiden Trapezflächen ist genau so groß. Ich hab das aber nur mal ganz schnell auf nen Zettel geschmiert, also gebe ich keine Garantie auf Richtigkeit.

    Edit: Beim Sechseck sollten die beiden Dreiecke, die übrig bleiben, wenn man ein Rechteck wie eben einbeschreibt, in der Summe kleiner sein als das Rechteck selber, beim Zehneck ist die Summe der übrig bleibenden Fünfecke dann größer als das Rechteck.
     
    #2
    duder, 17 Oktober 2007
  3. Cheater!
    Cheater! (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    1
    Single
    @duder: kann ich bestätigen

    @sechseck: Das Rechteck hat den Flächeninhalt a^2*sqrt(3). Die beiden Dreiecke zusammen den Flächeninhalt 1/2*a^2*sqrt(3).

    Das Zehneck ist mir dann doch zu stressig (siehe wikipedia)
     
    #3
    Cheater!, 17 Oktober 2007
  4. xela
    Gast
    0
    Man kann allgemein zeigen, daß zwischen dem Flächeninhalt F eines regelmäßigen n-Ecks (n gerade und >=4) und dem Flächeninhalt F_R des von dir gemeinten Rechtecks folgende Beziehung besteht:

    F = (n/4)*F_R

    Für ein regelmäßiges Achteck hätten wir demzufolge F = 2*F_R, d. h., das Rechteck nimmt genau die Hälfte der Achteckfläche ein.

    Im Falle eines regelmäßigen Sechsecks nähme das Rechteck dann 2/3 der Sechseckfläche ein. Im Falle des regelmäßigen Zehnecks wären das dann nur noch 2/5.
     
    #4
    xela, 17 Oktober 2007
  5. bebegirl
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Vielen Dank für eure Hilfe:grin: .
     
    #5
    bebegirl, 17 Oktober 2007
  6. Cheater!
    Cheater! (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    @xela: Könntest du mal zeigen, wie man an so einen Beweis rangeht?
     
    #6
    Cheater!, 17 Oktober 2007
  7. xela
    Gast
    0
    Der Beweis ist bei geschicktem Vorgehen eigentlich ganz einfach.

    Jedes regelmäßige n-Eck mit der Kantenlänge a besitzt einen Umkreis vom Radius r. Das regelmäßige n-Eck läßt sich nun in n Dreiecke zerlegen, indem man den Mittelpunkt des Umkreises mit allen Ecken durch Geraden verbindet.

    Im folgenden Bild ist die Situation zusammen mit dem fraglichen Rechteck dargestellt:

    [​IMG]

    Der Flächeninhalt F des n-Ecks ist nun nichts weiter als das n-fache des Flächeninhalts eines einzelnen Dreiecks. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist aber gegeben durch a*h/2. Damit erhalten wir für F:

    F = n*a*h/2​

    Der Flächeninhalt F_R des Rechtecks ist gegeben durch a*b, wobei b nichts weiter ist als das Doppelte von h. Damit gilt:

    F_R = a*b = 2*a*h​

    Jetzt sind wir auch schon fast fertig. Wenn wir wissen wollen, wie groß die Rechteckfläche F_R im Verhältnis zur n-Eckfläche F ist, so müssen wir auch das Verhältnis von F_R zu F bilden, d. h., wir müssen F_R durch F teilen. Unter Benutzung der beiden obigen Ausdrücke erhalten wir nun:

    F_R/F = 4/n​

    Dies ist die Gleichung, die wir gesucht haben. (Sie ist äquivalent zur von mir früher angegebenen Beziehung F = (n/4)*F_R, wie man hoffentlich sieht.)

    Für n=6 bekommt man F_R/F = 2/3, für n=8 bekommt man F_R/F = 1/2, für n=10 bekommt man F_R/F = 2/5 usw.
     
    #7
    xela, 18 Oktober 2007
  8. Cheater!
    Cheater! (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    1
    Single
    Wahnsinn, dankeschön. :smile:
     
    #8
    Cheater!, 19 Oktober 2007

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