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Grenzwertmist

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von DerRabauke, 26 Oktober 2008.

  1. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Also, ich bin gerade dabei nun doch mein Abi nachzuholen und hänge nun in Mathematik an einer Stelle...

    Die Aufgabe lautet:

    Berechne l-lim für x -> 2 und r-lim für x -> 2 dieser Funktion (6/x-2)+3

    Da es sich ja um gebrochen rationale Funktionen handelt und der Nenner an einer Stelle nicht klar definiert werden kann, muss ich mich diesem undefinierten Punkt ja nun annähern.
    Definitionsbereich wäre also erstamal D=R\{2} d.h. dem Punkt zwei wird sich angenähert. Hierfür steht soweit ich noch auf der Höhe bin ja 2-1/n bzw. 2+1/n
    Also setze ich diesen beliebig kleinen/großen Wert nun in die Funktion ein: 6/(2-(1/n)-2) +3

    Und hier beginnt nun mein Problem. Wo genau muss ich jetzt hin? Nach "n" auflösen? Ich steh echt vollkommen auf dem Schlauch :mad:
    Wär cool wenn jemand Fachkundiges 5Minuten zeit dafür hätte!
    Danke!
     
    #1
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  2. xela
    Gast
    0
    Du rechnest den linksseitigen Limes für x->2 dadurch aus, daß du eine Folge von x-Werten nimmst, die von links gegen 2 konvergiert, und dir dann den Grenzwert der zugehörigen Folge von Funktionswerten anschaust.

    "2-1/n" ist eine mögliche Folge, die für n->∞ gegen 2 konvergiert, und zwar von links.

    Die zugehörige Folge von Funktionswerten ist nun gegeben durch den Ausdruck:

    6/(2-(1/n)-2) +3​

    bzw. vereinfacht:
    6n + 3​

    Jetzt läßt du in diesem Ausdruck n->∞ gehen und überlegst dir, was hierbei wohl als Grenzwert rauskommt. Das Resultat ist dann der gesuchte linksseitige Grenzwert von "6/(x-2)+3" an der Stelle x=2.

    Für den rechsseitigen Grenzwert läuft das Ganze analog, nur daß du dir jetzt eine Folge von x-Werten überlegst, die von rechts gegen 2 konvergiert, also z. B. "2+1/n". Nun schaust du dir wieder die zugehörige Folge von Funktionswerten an und überlegst, was dort für ein Grenzwert bei rauskommt.
     
    #2
    xela, 26 Oktober 2008
  3. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Also, wenn ich dich nun richtig verstanden habe hast du mir nun versucht zu erklären was gesucht wird.
    Soweit habe ich die Aufgabenstellung begriffen. Ich suche einen Grenzwert der sich der "2" annähert, sowohl von links als auch von rechts, d.h. entweder 2-1/n von links oder 2+1/n von rechts. Soweit ist alles klar.
    Wenn ich aber nun z.B. von links 2-1/n in meine vorgegebene Funktion einsetze weiß ich nicht wie ich weiterzurechnen habe.
    Oder ist dann hier schon die Aufgabenstellung erfüllt?
    Ich war bisher irgendwie der Meinung ich müsse noch irgendein konkretes Ergebnis rausbekommen, obwohl das eigtl. ja Blödsinn ist!

    Ich frage einfach mal so. Bei der gegebenen Aufgabenstellung, was wäre da dein Ergebnis welches du vortragen würdest?
     
    #3
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  4. xela
    Gast
    0
    Wenn du das tust, erhältst du als Resultat den Ausdruck "6n+3". Dieser Ausdruck gibt nun die zur Folge "2-1/n" von x-Werten zugehörige Folge von Funktionswerten (d. h. y-Werten) an.

    Von dieser zugehörigen Folge von Funktionswerten, also "6n+3", mußt du nun den Grenzwert bestimmen, für n->∞.

    Das Resultat ist dann der gesuchte linksseitige Grenzwert von deiner Ausgangsfunktion an der Stelle 2.

    Du mußt also jetzt rausbekommen, was der Grenzwert von "6n+3" für n->∞ ist. Das müßtest du gerade so noch selbst schaffen. :zwinker:
     
    #4
    xela, 26 Oktober 2008
  5. DerRabauke
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    Naja, davon der Grenzwert wäre "3"!

    Allerdings weiß ich mit dem Ergebnis absolut nichts anzufangen :grin:
    Was genau gibt mir die drei nun bzw. was sagt mir das Ergebnis!?
     
    #5
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  6. xela
    Gast
    0
    Nö.

    Du hast die Folge "6n+3". Das n steht "oben"! Nun läßt du n gegen Unendlich laufen. Dabei kommt "zum Schluß" eben nicht 3 raus sondern...?

    Das Ergebnis sagt dir dann jedenfalls, was der Wert des linksseitigen Grenzwertes deiner gegebenen Ausgangsfunktion an der Stelle 2 ist. Genau nach diesem Wert wird ja gefragt.
     
    #6
    xela, 26 Oktober 2008
  7. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Na wenn "n" gegen unendlich läuft wäre das Ergebnis ja sowieso unendlich! Sechs mal unendlich plus drei sind nunmal unendlich...
     
    #7
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  8. xela
    Gast
    0
    Wenn du eine Folge mit den Gliedern "6n+3" hat, dann sieht die Folge im Einzelnen wie folgt aus:

    1. Folgenglied (n=1) hat den Wert: 6*1+3=9
    2. Folgenglied (n=2) hat den Wert: 6*2+3=15
    ...
    1987. Folgenglied (n=1987) hat den Wert: 6*1987+3=11925

    usw.

    Wenn du n gegen Unendlich laufen läßt, werden die einzelnen Folgenglieder immer größer und wachsen über alle Schranken. Folglich hat der Grenzwert der Folge "6n+3" für n gegen Unendlich den Wert +∞.

    +∞ ist also auch der gesuchte linksseitige Grenzwert deiner Ausgangsfunktion an der Stelle 2.

    So, dasselbe Theater mußt du nun spielen, wenn du den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle 2 ermitteln möchtest. (Da wird übrigens was anderes bei herauskommen.)

    Edit: Ich sehe gerade, daß du deinen letzten Beitrag bereits richtig korrigiert hast. :zwinker:
     
    #8
    xela, 26 Oktober 2008
  9. DerRabauke
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    Das kann doch nicht so einfach sein? :flennen:

    Dafür habe ich nun 2 Stunden gebraucht und fremde Nerven strapaziert?

    Also habe ich einmal minus und einmal plus unendlich...!? :cool1:
     
    #9
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  10. xela
    Gast
    0
    Doch, vorausgesetzt man weiß, was eigentlich zu tun ist.

    Dafür brauchst du aber vielleicht in Zukunft nicht mehr ewig nachzudenken.

    Richtig. Linksseitig kommt +∞ und rechtsseitig -∞ raus.
     
    #10
    xela, 26 Oktober 2008
  11. DerRabauke
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    Oh Gott, bin ich froh das ich mich im Internet nicht zu schämen brauch :grin:
    Vielen Dank, jetzt wo ich das alles aufgeschrieben auf Papier sehe erscheint es plötzlich so logisch...

    Eine klitzekleine Frage habe ich allerdings noch.
    Der Grenzwert für eine dieser undefinierten Stellen in gebrochen rationalen Funktionen müsste doch dann IMMER unendlich sein!?

    Ach Blödsinn...hat sich erledigt haha


    Danke nochmal, die FOS12 vom BTR wird dir morgen mächtig danken!
     
    #11
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  12. xela
    Gast
    0
    Nein, nicht immer.

    Wenn nur der Nenner an der Stelle Null wird und der Zähler einen von Null verschiedenen Wert hat, dann kommt, je nach dem, +∞ oder -∞ bei raus.

    Werden aber sowohl Nenner als auch Zähler an der Stelle Null, so kann, muß aber nicht, auch irgendein endlicher Wert als Grenzwert rauskommen. Beispiel:

    f(x) = (x²-1)/(x-1)

    Diese Funktion ist an der Stelle 1 nicht definiert, weil dort der Nenner Null wird. Gleichzeitig wird aber auch der Zähler Null. Es zeigt sich dann, daß sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert dieser Funktion an der Stelle 1 den Wert 2 hat, was alles andere als Unendlich ist.

    Die Ursache in diesem Beispiel hierfür ist, daß x²-1 nichts anderes ist als (x+1)*(x-1). Wenn man das durch (x-1) dividiert, kommt letztendlich (x+1) raus, was an der Stelle 1 nunmal den Wert 2 annimmt.
     
    #12
    xela, 26 Oktober 2008
  13. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Japp, ich glaube ich bekomm langsam den Durchblick bzw. ein Gefühl für den Kram.


    Problem ist ganz einfach das wir in nicht ganz 2 Monaten den gesamten Stoff der Klasse 11 durchnehmen.
    Da hat man ab und an mal kleine Kurzzeitdefizite :grin:
    Dürfte wohl jeder Student zum Teil nachvollziehen können.
     
    #13
    DerRabauke, 26 Oktober 2008
  14. xela
    Gast
    0
    Mir ist gerade aufgefallen, daß mir hier ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist. Es ist genau umgekehrt: Für den linksseitigen Limes erhält man hier -∞ und für den rechtsseitigen +∞.

    Ich habe das erst andersherum behauptet, weil ich in den früheren Beiträgen in Bezug auf den linksseitigen Limes den Term "6/(2-1/n-2)+3" fälschlicherweise zu "6n+3" umgeformt habe, dabei muß es hier natürlich "-6n+3" heißen.

    Sorry für das Versehen.
     
    #14
    xela, 26 Oktober 2008
  15. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Das Versehen habe ich garnicht mitbekommen.
    Da bin ich dann doch noch von alleine drauf gekommen! :grin:
    Aber Danke
     
    #15
    DerRabauke, 27 Oktober 2008

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