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Integralrechnung/Biquadratische Funktion

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von DerRabauke, 2 Februar 2009.

  1. DerRabauke
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    Gegeben ist die Funktion g(x) = -x^5 + 3x^3 - x

    Gesucht ist der Flächeninhalt von G(x) für [-2; 2]


    Nun leite ich erstmal auf und verschaffe mir die Stammfunktion...

    => G(x) = -1/6x^6 + 3/4x^4 - 1/2x^2


    Nun müsste ich die Nullstellen berechnen! Ich schaffe dies allerdings nicht, da ich keine Nullstelle für die Polynomdivision erraten bekomme (Ausnahme von 0, diese bringt mich aber ja nicht weiter). Ich setze die Funktion also gleich 0 und klammere x^2 aus!
    Das sieht dann wie folgt aus...

    => G(x) = x^2(-1/6x^4 + 3/4x^2 -1/2) | Satz vom Nullprodukt

    x^2 = 0 oder -1/6x^4 + 3/4x^2 - 1/2 = 0


    Nun habe ich eine biquadratische Funktion gegeben.
    Mit dem setzen von z = x^2 bekomme ich dann einen Polynom zweiten Grades zum Ergebnis.

    => G(x) = -1/6z^2 + 3/4z - 1/2

    Nun wende ich die quadratische Ergänzung an um endliche meine Nullstellenberechnung zu beginnen.

    => -1/6z^2 + 3/4z - 1/2 = 0

    => z1 = 3,686... und z2 = 0,814...


    Nun kann ich das Ergebnis ja in z = x^2 einsetzen und so mein xund somit die Nullstellen ausrechnen.
    Stimmt das soweit?
    Habe ich dann meine Nullstellen und kann eben die Beträge der Flächeninhalte zwischen den Nullstellen berechnen und addieren?
    Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?
     
    #1
    DerRabauke, 2 Februar 2009
  2. Mitbewohner
    Sorgt für Gesprächsstoff
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    in einer Beziehung
    Reicht es nicht einfach die Grenzen in die Stammfunktion einzusetzen?
    Du hast das Intervall gegeben und wenn du das dann in die Stammfunktion einsetzt, solltest du den Flächeninhalt haben.
    ... das gibt genau 0.

    Oops. Ja ist richtig.
     
    #2
    Mitbewohner, 2 Februar 2009
  3. xela
    Gast
    0
    Wieso? Du hast es doch gemäß [...] offenbar doch geschafft.

    Ja.

    Nein.
     
    #3
    xela, 2 Februar 2009
  4. User 505
    Planet-Liebe-Team
    Moderator
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    Verheiratet
    Stimmt so weit, nur die äußersten Teile - also quasi 1. Grenze bis 1. Nullstelle und letzte Nullstelle bis letzte Gleichung - nicht vergessen.
     
    #4
    User 505, 2 Februar 2009
  5. xela
    Gast
    0
    Das reicht i. a. nicht, da die Funktion im Integrationsbereich Vorzeichenwechsel haben kann, also streckenweise ober- bzw. unterhalb der x-Achse verlaufen kann. Wenn man jetzt einfach nur die Grenzen einsetzt, dann werden unterhalb der x-Achse liegende Flächenstücke negativ gerechnet, was man aber i. d. R. gerade nicht möchte.
     
    #5
    xela, 2 Februar 2009
  6. DerRabauke
    DerRabauke (30)
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    Japp, und deshalb berechnet man ledeglich die Beträge der Flächen zwischen allen Nullstellen und addiert diese einfach.

    Wie lange ich schon kein Thema mehr in Mathe im ersten Durchgang verstanden habe... :grin:
     
    #6
    DerRabauke, 2 Februar 2009
  7. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
    366
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    Single
    Für alle Beteiligten wollte ich nur nochmal festhalten das mir in der Rechnung natürlich ein schwerwiegender Fehler unterlaufen ist.
    Ich muss selbstverständlich von meiner Normalfunktion die Nullstellen berechnen und nicht von meiner aufgeleiteten Stammfunktion.
    Das ergibt ja sonst garkeinen Sinn :smile:
     
    #7
    DerRabauke, 7 Februar 2009
  8. carissimo
    carissimo (29)
    Verbringt hier viel Zeit
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    5
    nicht angegeben
    -x^5 + 3x^3 - x = -x(x^4 - 3x^2 + 1), und man kann die Nullstellen der eingeklammerten Funktion durch die Substitution z=x^2 standardmäßig ausrechnen.

    Übrigens haben ja alle Terme in der Funktion g ungeraden Grad, was bedeutet, daß gilt: g(-x)=-g(x). Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung, so daß man sich, wenn man will, auf das Intervall [0,2] beschränken kann. (Für [-2,2] ist die Fläche dann doppelt so groß. Was links von 0 negative Werte hat, hat - nach rechts von 0 gespiegelt - positive Werte und umgekehrt.)
     
    #8
    carissimo, 7 Februar 2009
  9. xela
    Gast
    0
    In der Tat. Das habe auch ich übersehen, was aber zum Teil daran liegt, daß du im ersten Post geschrieben hast, daß der Flächeninhalt von G(x) gesucht sei (anstelle von g(x)). Blöder Vertipper mit leider schwerwiegenden Folgen.
     
    #9
    xela, 7 Februar 2009

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