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    31 März 2009
    #1

    Kettenregel

    Ein Mathekundiger hier, der mir kurz bestätigt, ob folgende Ableitung richtig ist? Mit der Kettenregel kämpfe ich momentan noch.

    f(x)=(x^2+4x^6-9x^3)^4

    f'(x)=(2x+24x^5-27x^2)*(4*(x^2+4x^6-9x^3)^3)

    Danke
     
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    #4
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    31 März 2009
    #5
    Bei der Funktion f(x)=3x^3+(24x+6)^2 spuckt der Calculator eine andere Ableitung aus, als die, die ich ausgerechnet habe.

    f'(x)=(9x²)*(2*(24x+6))

    Hier meine Teilableitungen:

    z=24x+6

    u(z)=(z)^2

    u'(z)=2z

    v(x)=24x+6

    v'(x)=24

    Wenn die Kettenregel v'*u'(v(x)) lautet, so muss ich doch einfach nur v' und u' multiplizieren und dabei z durch 24x+6 ersetzen. Irgendwie geht das aber nicht auf.
     
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    31 März 2009
    #7
    Das Produkt kann definitiv nicht rauskommen, alleine schon weil das ein Polynom 3. Grades ist.

    Meinst du mit Kettenregel einfach innere mal äußere Ableitung?
    Warum so kompliziert mit dem U(z), v und z?

    Innere Ableitung 24, äußere Ableitung 2*(24x+6) und einfach multiplizieren. Fertig.
    Das gleiche Spiel mit 3x^3

    im Prinzip ist es ja das gleiche, aber halt einfacher und schneller oder?
     
  • User 44981
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    31 März 2009
    #8
    Sowohl bei der verlinkten Seite, als auch nach meiner Rechnung kommt folgendes raus:

    9x^2 + 48*(24x+6)

    Vermutlich hast du die Formel falsch ins Formular eigegeben (Klammern falsch gesetzt, o.Ä.)

    Ach ja. Wenn du dir die Kettenregel so nicht merken kannst, könnte es evtl. hilfreich sein, die Leibniz-Notation anzuschauen:

    f`(x) = df/dx

    und dann ist die Kettenregel einfach ein Erweitern des Bruches mit dg(x) (allerdings stehen einem Mathematiker die Haare zu berge, wenn er sieht, was ich jetzt schreibe):

    df(g(x))/dx = (df(g(x)) * dg(x)) / (dg(x) * dx) = ( df(g(x)) / dg(x) ) * ( dg(x) / dx )
     
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    31 März 2009
    #9
    Ah, jetzt geht es auf. Ein kleiner Rechenfehler hat sich eingeschlichen. Danke für die Hilfe :smile:
     
  • Linguist
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    31 März 2009
    #10
    Ich muss aber immer "übergeordnet" denken, oder? Also z.B.:

    f(x)=(x+1)^100*x^3

    Als erstes sehe ich, dass die Produktregel anwendbar ist. Um aber an die benötigten Ableitungen von u(x) und v(x) zu kommen, muss ich u(x) mit der Kettenregel teilableiten und v(x) mit der Potenzregel. Die erhaltenen Ableitungen am Ende bei der Produktregel anwenden, sodass ich an die "Gesamtableitung" komme.

    Oder z.B.:

    (12x^6/8)*(12x/3x+1)

    Um die Ableitungen für die Produktregel zu erhalten, muss ich wieder u(x) und v(x) jeweils per Quotientenregel teilableiten. Die erhaltenen Ableitungen am Ende bei der Produktregel anwenden.

    Richtig?
     
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    31 März 2009
    #11
    Die Kettenregel ist einfach nur die Umkehrung der Substitution, wenn du dir mal nicht sicher bist ob es richtig ist, kannst du ja auch einfach das was du raus hast, wieder Substituieren x)

    Bei der Teilableitung von 12x^6/8 brauchst du keine Quotientenregel, weil der Nenner nicht von x abhängt x)
    ist ja das gleiche wie 1,5x^6 ^^, also das kannst du gleich ableiten ( 9x^5)

    Beim andren Term musste schon Quotientenregel anwenden!
     
  • Fuchs
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    31 März 2009
    #12
    Ich würde es ausmultiplizieren:

    (12x^7)/(24x + 8)

    Und dann die Quotientenregel anwenden. Gibt viele Wege zum Ziel :zwinker:
     
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    #13
    Also darf ich Funktionen auch beliebig umformen? Den Mathegesetzen entsprechend.
     
  • Mitbewohner
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    31 März 2009
    #14
    Natürlich. Sind ja alles Äquivalenzumformungen, die du machst.
    Ändert überhaupt nichts am Ergebnis (Okay, es sieht vielleicht anders aus, aber is das gleiche!)
     
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    #15
    Danke. Wenn man sich einmal aufgerafft hat, macht es sogar Spaß. Und das obwohl ich noch sehr oft gegen mathematische Wände laufe :tongue:

    Aber wozu ist die Kettenregel dann noch nötig? Mir fällt keine Funktion ein, die sich nicht auch irgendwie umschreiben lässt. Höchstens für extrem große Potenzen, die sich anders nicht darstellen ließen.

    (100x)^99 oder so. Da wirds mit dem auspotenzieren ein wenig schwer.
     
  • Prof_Tom
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    31 März 2009
    #16
    Ja, genau, genauso für alle Funktionen mit ln(....) arsin, arsi hyperb.
    acos, arcos hyperb. sowie artan und artang hyperb. :grin: und die cotan funktionen davon :smile2:
     
  • Linguist
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    #17
    Komm bei folgender Funktion nicht weiter und der Calculator spuckt auch ein total anderes Ergebnis aus :geknickt:

    f(x)=((12/8)x^6)*((12x)/(3x+1)) ( / = Bruchstrich!)

    f'(x)=((108x^5)/(9x^2+1))



    ((12/8)x^6) habe ich per Potenzregel abgeleitet

    -> ((12/8)6x^5)


    ((12x)/(3x+1)) mit der Quotientenregel...


    u(x)=12x
    u'(x)=12
    v(x)=3x+1
    v'(x)=3


    Dann eingesetzt.

    ((3x+1)*(12)-(3)*(12x))/(3x+1)^2

    Weiter vereinfacht:

    (12)/(9x^2+1)

    Haut nicht hin :kopfschue
     
  • User 44981
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    #18
    Man kann ja nicht nur Polynome ableiten.

    Versuche doch mal f(x) = sin(2x^2+3x) abzuleiten... oder x^x oder x^(x^x), wobei letzteres im Kopf und ohne Stift und Papier doch schon eine kleine Herausforderung ist :zwinker:
     

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