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Kurvendiskusion Hilfe

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von Jevi, 24 April 2005.

  1. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    1
    Single
    Kann mir jemand damit helfen habe gar kein Plan!

    F(x)=x²-8x+15

    a) Ableitungen f´(x), f´´(x), f´´´(x)

    habe versucht:

    f´(x)=2x-8
    f´´(x)=2x
    x´´´(x)=2

    b) Monotonie
    c) Symetrie
    d) Nullstellen
    e) Extrema
    f) Wendepunkte
    g) Wertetabelle

    Wäre super wenn jemand der gut in Mathe ist das mal ausrechnet...

    MfG

    Jevi
     
    #1
    Jevi, 24 April 2005
  2. SunsetLover
    Verbringt hier viel Zeit
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    0
    Single
    Zu faul um es selbst zu machen?? :link:
    Zumindest Nullstellen und Wendepunkte sind doch nich so schwer oder?
     
    #2
    SunsetLover, 24 April 2005
  3. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Ne nicht zu faul... Ich kappiere das nicht und versuche eine Aufgabe aus dem buch zu lösen... leider bin ich nicht sicher ob ich richtig liege. So wollte ich die lösung.

    an den nullstellen bin ich gerade
     
    #3
    Jevi, 24 April 2005
  4. Dawn13
    Verbringt hier viel Zeit
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    121
    0
    nicht angegeben
    Ich kann dir nur teilweise helfen (oder versuche es zumindest):

    d) Nullstellen:

    f(x) = 0
    x²-8x+15 = 0

    ergibt: x1=5, x2=3

    e) Extrema:

    f'(x) = 0
    2x-8 = 0

    ergibt: Wert für x=4
    Das einsetzten in f(x), ergibt: Wert für y=-1

    Diesen Punkt x-Wert einsetzen in f''(x)=2x, ergibt y=8
    Da 8 > 0, ist der Extrempunkt P(4/-1) ein Minimum.

    f) Wendepunkte:

    Da hätt ich behauptet, dass es keine gibt, da f''(x)=0=2.

    g) Wertetabelle:

    Das ist ja nicht so schwierig, einfach für x beliebige Werte wählen und diese in die Anfangsgleichung einsetzen, dann kriegst du den y-Wert...

    Mehr weiss ich leider auch nicht und sorry, falls obiges falsch sein sollte...

    :smile:
     
    #4
    Dawn13, 24 April 2005
  5. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
    294
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    1
    Single
    Super danke so kann ich ein wenig vergleichen...!
    Bei den nullstellen haste die p q formel benutzt?
     
    #5
    Jevi, 24 April 2005
  6. Juliee
    Gast
    0
    kennst du die bedingungen für die einzelen Punkte? dann ist das doch nicht schwer..?
    und f"(x) ist nur 2 und nicht 2x
     
    #6
    Juliee, 24 April 2005
  7. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    @ juliee

    danke für die korrektur!

    Ne nicht wirklich da ich ziemlich lange im Krankenhasu lag und jetzt alles nachholen muss...
     
    #7
    Jevi, 24 April 2005
  8. Dawn13
    Verbringt hier viel Zeit
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    121
    0
    nicht angegeben
    p q Formel sagt mir jetzt grad nix, sorry, weiss nicht, ob ihr in D ne andere Bezeichung habt...
    Ich hab das jetzt gezeichnet und abgelesen, geht aber halt nur, weil es ne sehr einfache Kurve ist...
     
    #8
    Dawn13, 24 April 2005
  9. Honeybee
    kurz vor Sperre
    7.167
    0
    2
    nicht angegeben
    #9
    Honeybee, 24 April 2005
  10. Juliee
    Gast
    0
    c) Symetrie...Achsensymmetrie, es muss gelten f(x) = f(-x)
    Punktsymmetrie: -f(x) = f(-x)
    d) Nullstellen: f(x)=0, und ja pq-Formel anwenden :zwinker:
    e) Extrema: f'(x)=0 und f"(x) ungleich 0
    also: 1. Ableitung 0 setzen, den errechneten wert zur Überprüfung in die 2. Ableitung einsetzen, ist der ungleich 0, dann gibt es Extrema. ist der Wet größer als 0 ist es ein Minimum, andernfalls ein Maximum
    um den y-wert zu erhaten, den errechneten Wert in die normale Funktion einsetzen
    f) Wendepunkte: f"(x) =0, f'''(x) ungleich 0...vorgehen wie bei den Extrema
    g) Wertetabelle..einfach verschiedene x-werte in die Gleichung einsetzen...

    und jetzt versuch einfach mal
     
    #10
    Juliee, 24 April 2005
  11. zartbitter
    zartbitter (28)
    Verbringt hier viel Zeit
    495
    101
    0
    vergeben und glücklich
    Symmetrieverhalten:

    Wenn x --> + unendlich geht, dann geht f(x) --> + unendlich

    Wenn x --> - unendlich geht, dann geth f(x) ---> - undendlcih



    Der graph ist achsemsymmetrisch.

    ansonsten fällt der Graph bis (0/0) monoton, und steigt von da an wieder monoton an.

    alles weiter wurde gesagt glaub ich
     
    #11
    zartbitter, 24 April 2005
  12. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
    294
    103
    1
    Single
    ok Nullstellen denke ich ist wirklich einfach und die extrema habe ich auch hinbekommen, doch was ist mit wendepunkten gibts da wirklich keine???
    Ach und mit der Symetrie komme ich nicht klar...
     
    #12
    Jevi, 24 April 2005
  13. Honeybee
    kurz vor Sperre
    7.167
    0
    2
    nicht angegeben
    ganz einfach

    potenzen gerade: achsensymmetrisch
    potenzen ungerade: punktsymmetrisch

    sind gerade und ungerade potenzen dabei: nicht symmetrisch

    oder wurde das schon gesagt? :grin:
     
    #13
    Honeybee, 24 April 2005
  14. Dirac
    Dirac (34)
    Verbringt hier viel Zeit
    793
    113
    33
    Single
    Überleg doch mal, was ein Wendepunkt geometrisch ist: ein Punkt, in dem sich die Krümmung des Graphen ändert. Der Graph ist aber eine Parabel, und die ist immer (je nach Betrachtungsweise) konstant rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt. Wenn dir das nicht klar ist, dann stell dir vor, du fährst die Parabel mit dem Auto entlang-wie musst du das Lenkrad einschlagen? Die ganze Zeit konstant in eine Richtung, oder musst du zwischendurch wechseln? Bei der Parabel musst du das nicht, du fährst quasi immer eine Links- oder Rechtskurve (je nach Richtung).
    Mathematisch folgt das natürlich aus f''(x) = 2, womit die Gleichung f''(x) = 0 keine Lösung hat.
     
    #14
    Dirac, 24 April 2005
  15. Jevi
    Jevi (31)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
    294
    103
    1
    Single
    vielen dank für eure Tipps! Bin ein ganzes stück weiter gekommen!!!
    Werde mich hier noch mal melden...
     
    #15
    Jevi, 24 April 2005
  16. gshock
    Gast
    0
    Versuche Dir das Ganze ein bisschen bildlich vorzustellen :smile:

    Nullstellen:
    Das ist dort, wo die Kurve die y-Achse schneidet, also der Punkt die Kordinate (0/y) hat.
    Um das rauszufinden, musst Du 0=f(x) lösen.

    Ableitung:
    Du willst wissen, wie stark die Kurve an einem bestimmten Punkt P1 steigt. "Wenn ich soviel nach rechts laufe, muss ich soviel hoch/runter laufen, um auf der Kurve zu bleiben." Dazu nimmst diesen Punkt und einen Punkt P2, beide auf der Kurve und verbindest sie mit einem Strich. Wenn P2 "weit weg" von P1 gewählt ist, kriegst halt einen schlechten Wert. Wenn Du mit P2 aber immer näher (und schlussendlich "unendlich nahe") an P1 gehst, kriegst den exakten Wert. (Immer näher zusammenrücken lassen ist _die_ Idee der Infinetesimalrechnung...)
    Falls die Ableitung an einem Punkt positiv ist, heisst das, der "nächste Punkt" auf der Kurve liegt höher, die Kurve steigt.
    Falls die Ableitung an einem Punkt negativ ist, heisst das, der "nächste Punkt" auf der Kurve liegt tiefer, die Kurve sinkt.

    Für das Berechnen der Ableitungen selber gibt's ein Schema, das musst halt lernen. (Das lässt sich schon herleiten, ich nehme aber nicht an, dass Du das jetzt können willst :zwinker: )

    Extremalpunkte:
    Die Kurve steigt und steigt, erreicht den Extremalwert und sinkt.
    Mit andern Worten: Wenn die Ableitung(=Steigung!) vom Positiven zu 0 wird und dann ins Negative (oder umgekehrt) wechselt, hast Du einen möglichen Extremalwert gefunden.
    Deshalb setzt Du die Ableitung gleich 0 und löst die Gleichung, gibt eine Lösung, sagen wir z. An dieser Stelle z hat die Funktion möglicherweise einen Extremalwert. Nun rechnest Du f(z) aus, das ist der mögliche Extremalwert.
    (Zusatzhinweis: Es ist nur mit Sicherheit ein Extremalwert, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle z verschieden 0 ist. Sonst musst's genauer anschauen, geht wohl über Deinen Stoff hinaus.)

    Wendepunkt:
    Dort, wo das Krümmungsverhalten von einer Links- zur Rechtskurve (oder umgekehrt) wechselt.
    Das verhält sich so: Die Steigung der Linkskurve wird z.B grösser und grösser, also immer steiler. Nun leitest Du die Rechtskurve ein - dafür muss die Steigung wieder abnehmen.
    Mit andern Worten - Du suchst die Extremalpunkte der Ableitung.
    (Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall)
    Ganz allgemein ist meine Erklärung hier nicht, Du findest - wie oben - nur Kandidaten, also MÖGLICHE Punkte, musst noch prüfen, ob es wirklich Wendepunkte sind. Und wieder: Wenn die dritte Ableitung nicht 0 ist, hast einen Wendepunkt, sonst vielleicht auch, aber nicht mit Sicherheit.)

    Monotonie:
    Wenn eine Kurve nur steigt / nur sinkt, ist sie STRENG monoton steigend/fallend.
    Wenn eine Kurve nur steigt oder auch mal ein Stück lang gleich bleibt, ist sie monoton steigend. (das selbe auch für fallend.)
    Mathematisch: Montonie <=> x1 <= x2 impliziert f(x1) <= f(x2) für alle x1, x2.
    Strenge Montonie <=> x1 < x2 => f(x1) < f(x2) für alle x1, x2.
    Das kannst Du auch wieder über die Ableitung nachweisen: Wenn die Ableitung an jeder Stelle grösser 0 ist, ist die Kurve monoton steigend.
    Ausser bei äusserst einfachen Funktionen ist die Ableitung nie nur positiv / null / nur negativ, sondern wechselt. (Mal steigt die Kurve, dann sinkt sie wieder, dann steigt sie wieder...)
    Deshalb wird für Monotonie meist nur ein Abschnitt betrachtet, d.h man überlegt sich, ob die Kurve zwischen den Stellen x1 und x2 monton verläuft.
    Sinnvoll als Intervall-Grenzen sind natürlich die Extremalwerte. (Verläuft die Kurve zwischen zwei Extremalwerten streng monoton?)

    Ist alles mehr oder weniger intuitiv erklärt (bzw. sehr flapsig :zwinker: )
    Die exakten Definitionen stehen in Deinem Buch. Schau Dir auch an, was differenzierbar und stetig differenzierbar heisst. Das sind wichtige Begriffe.

    (Oder anders gesagt: die Kurven "1" (die horizontale Linie) und x/x (auch fast eine horizontale Linie) sind nicht genau gleich. x/x ist nämlich eine horizontale Linie mit einem "Loch" bei 0. (Du darfst nicht einfach den Bruch kürzen, das ändert das Kurvenverhalten :zwinker: )

    Vielleicht verschafft Dir das das erhoffte Bild.

    So; Mathe-Exkurs beendet :grin:

    danke dem Horizont da unten für die Berichtigung :zwinker: - sonst wäre ich ins schwarze Loch der Fehlerhaften gesogen worden :cool:
     
    #16
    gshock, 25 April 2005
  17. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
    197
    101
    0
    vergeben und glücklich
    Damit du nen Überblick über das Differenzieren hast, ich hab da mal zu meiner Schulzeit was gebastelt.

    Das lehrt dich zwar nicht das Differenzieren, aber wenn du mal wieder ganz wirr im Kopf bist, und nicht mehr weißt, was passsiert, wenn welche Ableitung null wird, ich denke, hieran kannst du dir das gut anschauen. Guck dir f(x) an, und versuche daraus den Verlauf von f'(x) abzuleiten. Was passiert dann an den Nullstellen von f'? Und was passiert, wenn f' ein Extremum hat, also f''=0 ist?. Immer so weitermachen, dann wirds klar.

    Edit: Jetzt hat die Uhr da oben ja ne schöne Erklärung dazu geliefert...
     
    #17
    Event Horizon, 25 April 2005

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