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Kurvendiskussion (Mathematik) Aufgabe

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von User 10015, 27 Mai 2005.

  1. User 10015
    User 10015 (28)
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    Single
    Hi,

    ich hab ein Problem. Ich hab ne Hausaufgabe in Mathe auf aber bekomm die nicht so ganz hin. Ist hier einer der mir die erklären könnte.

    Aufgabe: Wo liegen die Wendepunkte von f(x)=1/4 ( x4 - ax2).
    Ist eine Kurvenschar. (x3, sowas bedeutet x hoch 3). Stellen sie die Gleichung der Wendetangenten auf. (Nur für a=6).

    Wär echt lieb wenn mir einer dabei helfen könnte.

    evil
     
    #1
    User 10015, 27 Mai 2005
  2. Caramel bon bon
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    hajo,
    ich geh auf eine Dänische Schule, bin deshalb nicht ganz mit den Begriffen vertraut. Wenn ich richtig verstanden habe, dann sollst du von
    f(x)=1/4 (x^4- 6x²)
    irgendeinen Tangent ausrechnen. Der wo f '(x) von positiv in negativ wechselt?

    also der graf sieht auf jeden Fall lustig aus :zwinker: das ist so ein Ding, sieht aus wie eine Parabel um die y-akse drumherum. Nur das sie unter der x-akse plötzlich zwei gleich hohe Toppunkte (nennt man das so?) hat und im Punkt (0;0) dann "zusammen findet".

    noch da?

    also ich ahbe da jetzt mal was ausgerechnet. Habe zwar keine Ahnung, ob das jetzt das richtig ist, aber ich will jetzt Joggen gehen.
    Also erstmal habe ich f ' (x) berechnet.
    f(x)=1/4*x^4-1,5x²

    f ' (x)=x^3-3x

    0=x^3-3x

    0=x(x^2-3)

    x=0 ---> f ' (x)=0

    0=x^2-3

    d=12

    x1=((12)^1/2)/2=(3)^1/2=1,73

    x2=(-(12)^1/2)/2=-(3)^1/2=-1,73

    (x)^1/2 = Quadratwurzel von x

    hoffe du verstehst das, sonst schaue ich nachher noch mal rein. Bis denne,

    Caramel bon bon mit Caramelgeschmack
     
    #2
    Caramel bon bon, 27 Mai 2005
  3. MoonaLisa
    MoonaLisa (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    0
    nicht angegeben
    So, also um Wendepunkte zu berechnen, muss man (glaube ich, ist schon etwas her) f"=0 setzen. Und dann in f' einsetzen, um den Punkt mit seinen Koordinaten zu bekommen.

    f= 1/4x^4 - a/4x^2
    f'= x^3 - 2a/4x
    f"= 3x^2 - 2a/4

    f"=0 -> 3x^2 - 2a/4 = 0
    -> x= Wurzel aus a/6

    einsetzen in f', wobei man für a die Zahl 6 einsetzt:

    x=-2

    Der Punkt müsste also (1/-2) sein.

    Schau mal HIER, da gibts ne Menge Erklärungen. Mit der Seite hab ich meine 13 Punkte geschrieben.

    Gruß Moona
     
    #3
    MoonaLisa, 27 Mai 2005
  4. Flowerlady
    Verbringt hier viel Zeit
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    123
    1
    vergeben und glücklich
    Naja, also die Hilfe war jetzt grad ja nicht SO hilfreich.....

    okay, du hast die Funktion f(x)=1/4 ( x^4 - ax^2)
    1)ausmultiplizieren, so wie Caramel bon bon es auch getan hat, dabei aber das a weggelassen hat, *g*)
    2) f', f'' und f''' bilden
    3) din Wendepunkte bekommst du duch f''(x)=0. Dabei bleibt das a bestehen, ist schließlich ne Kurvenschar *g*
    4) die x-Werte der Wendepunkte (x wendepunkt) prüfen in f'''(x wendepunkt). Das muss ungleich 0 sein
    5) die x-werte in f(x-wendepunkt) einsetzen, dann bekommst du den y-wert vom wendepunkt und hast somit die koordinaten.

    Eine Tangente ist eine Gerade, die an dem Graphen anliegt und genau die gleiche Steigung hat wie die Stelle, an der sie anliegt. Und in diesem Fall soll sie am Wendepunkt anliegen. Richtig?
    also ne Gerade hat an sich die Gleichung g(x)=mx+b
    und jetzt verlässt es mich, ich muss erstmal frühstücken *G*
     
    #4
    Flowerlady, 27 Mai 2005
  5. Caramel bon bon
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Nu mal langsam- die Wendepunkte sind doch (-1,73 ; -2,25) , (0;0) und
    (1,73 ; -2,25) oder?
    so sieht das auf jeden Fall bei mir aus, wenn ich das hier ins Proggi eingebe. Und um das rauszufinden, muss man doch nicht die f'' funktion berechnen... oder?
    :gruebel
    :confused:

    naja und dann halt noch die Gleichung ausrechnen. die ist aber bei x=-1,73 und x=1,73 dieselbe, nämlich:

    g(x)=-2,25
    und bei x=0 ist sie f(x)=0
     
    #5
    Caramel bon bon, 27 Mai 2005
  6. MoonaLisa
    MoonaLisa (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    nicht angegeben
    Was du ausgerechnet hast, waren die Extremwerte. Denn mit f'=0 rechnet man die aus.

    Weiß nicht, was war an meiner Erklärung nicht hilfreich? So stehts im Mathebuch. Um den y-Wert zu bekommen, steht hier, muss man das Ergebnis in f' einsetzen und nicht in f.
     
    #6
    MoonaLisa, 27 Mai 2005
  7. Shadow_80
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Wendepunkt Bestimmung:

    1.notwendige Bedingung : 2.Ableitung also f''(x)=0
    2.hinreichende Bedingung: 3. Ableitung also f'''(x) muss ungleich null sein

    Also wie schon beschrieben Ableitungen bilden:

    f'(x) = 1/4 (4x^3 - 2ax)
    f''(x) = 1/4 (12 x^2 -2a)
    = 3 x^2 - 1/2 a
    f'''(x) = 6x

    Nullsetzen der 2. Ableitung liefert:

    x= plus oder minus Wurzel aus 1/6 a

    Einsetzen in die dritte Ableitung liefert als Bedingung für Wendestelle, das
    a nicht 0 sein darf. Ist auch klar denn dann hätte man nur 1/4 x^4 und diese Funktion hat keine Wendestelle.

    Und die Wendetangente ist die Gerade im Wendepunkt die dieselbe steigung besitzt wie die Funktion in diesem Punkt. Geradengleichung:

    g(x) = ax+b

    a Steigung, da Tangente hier f'(x) am Wendepunkt
    b Achsenabschnitt

    also Wendepunkt in f'(x) einsetzen liefert, für a=6
    (Wendepunkte sind bei x=1 und x=-1)

    f'(1) = -2 und für f'(-1) =-4

    Die Achsenabschnitte ergeben sich zu:

    für x=1 und für x=-1 ---> b = -13/4

    Geradegleichungen sind dann

    x=1: g(x) = -2x -13/4
    x=-1: g(x) = -4x -13/4

    Hoffe hab mich nirgendwo verrechnet :zwinker:

    Ansonsten alle Angaben ohne Gewähr
     
    #7
    Shadow_80, 27 Mai 2005
  8. Flowerlady
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    vergeben und glücklich
    Ich meinte Caramel bon bon, nicht dich. Du hast nur zu schnell geantwortet, während ich noch am Tippen war ;o)

    Und mit f '(x) bekommt man die Steigung, nicht den y-Wert. Und da bin ich mir GANZ sicher.
     
    #8
    Flowerlady, 27 Mai 2005
  9. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Das ist so korrekt. Ich würde gerne das Mathebuch sehen, das sagt, daß y=f'(x) ist.

    Wenn man den Punkt (x;y) hat und die Funktion, so hat die Tangente die Steigung f'(x), und für den y-Acshenabschnitt kann man f(x)-x*f'(x) berechnen. Vielleicht kommt es daher?
     
    #9
    Event Horizon, 27 Mai 2005
  10. MoonaLisa
    MoonaLisa (31)
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    nicht angegeben
    Ich weiß es nicht :grin: Werde mich nächstes jahr fürs Abi eh noch mal näher damit beschäftigen müssen. Man vergisst einfach viel zu schnell viel zu viele Sachen.

    Sorry, falls ich hier was falsches geschrieben habe :schuechte
     
    #10
    MoonaLisa, 27 Mai 2005
  11. Caramel bon bon
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    *verstehundkleinbeigeb* ----- aber ich habe doch nicht behauptet, dass y=f'(x) ist --- oder?
    Also was ich nur nicht so genau wusste, dass war was ein Wendepunkt überhaupt ist. Aber ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Das ist der Punkt, wo der Tangent die Linie schneidet, nicht nur berührt. Stimmts?
     
    #11
    Caramel bon bon, 27 Mai 2005
  12. Shadow_80
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    da hab ich mich doch tatsächlich verrechnet... Peinlich :smile:

    f'(-1) ist natürlich 2

    und daraus ergibt sich dann für die Tangente in -1:

    g(x) = 2x +3/4

    Jetzt sollte es stimmen :smile:

    Hoffe ich
     
    #12
    Shadow_80, 27 Mai 2005
  13. User 10015
    User 10015 (28)
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    Single
    @Shadow: Wie kommst du auf dein b?

    Ich bekomm da immer was anderes raus.
     
    #13
    User 10015, 27 Mai 2005
  14. Shadow_80
    Verbringt hier viel Zeit
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    1
    Single
    also an den Wendestellen ist :
    f(x)= g(x)

    Also

    g(1)=f(1)= 1/4(1^4 - 6* 1^2)= 1/4 -6/4 = -5/4

    und

    g(-1) = f(-1) = f(1) = -5/4

    dann gehts du von da aus mit der jewiligen steigung zum Nullpunkt

    Mit dem differenzenquotient

    g '(x) = (g(x)-g:thumbsup:)/(x-y)

    Und hier fällt mir gerade auf, das ich mich schon wieder verrechnet hab :zwinker: sorry.

    Also weiter:

    mit x=1 und y=0 und nach g(0) auflösen

    g(0) = g(1)-g'(1) = -5/4 -(-2)= 3/4

    da war mein Fehler :smile:

    mit x=-1 und y=0

    g(0) = g(-1)+g'(-1) = -5/4 + 2= 3/4

    Das war der Rechenweg. Hoffe das jetzt alles richtig ist :smile: Tut mir leid das ich mich verechnet hab und dich so wohl verwirrt hab.

    Aber wenn du es dir vielleicht anschaulich überlegst, wenn du Funktion aufmalst. Ist es eigentlich auch klar das das b in beiden Fällen gleich sein muss, sowie auch das beide Steigungen umgekehrtes Vorzeichen aber gleichen betrag haben müssen.

    Naja hoffe konnte wenigstens n bisschen helfen :smile:

    und weiter hoffe ich das ich nicht absoluten Mist erzählt hab und mich nicht immer noch verrechnet hab :smile:
     
    #14
    Shadow_80, 27 Mai 2005
  15. User 10015
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    Ich weiß nur nicht woher y=0 stammt.

    Ach ja, was ist der y Wert der Wendepunkte? Hab ja nur die Wendestelle.
     
    #15
    User 10015, 27 Mai 2005
  16. Shadow_80
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    Single
    nein nein dieses y ist ein anderer x-Wert...ok hätte sie vielleicht x1 und x2 nennen sollen..

    Du willst ja den y-achsenabschnitt berechnen. und das ist ja nun mal der Wert der Tangente an der Stelle x=0 ----> daher y=0, geb ja zu y war ne dumme Bezeichnug in der Schule ist y ja immer Funktionswert :zwinker:
     
    #16
    Shadow_80, 27 Mai 2005
  17. User 10015
    User 10015 (28)
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    Single
    Ok, hab jetzt fast alles. Nur noch nicht den kompletten Wendepunkt.
    Also wenn ich Xw in f(x) einsetze um den kompletten Wendepunkt hinauszubekommen. Da weiß ich nicht ob mein Ergebnis richtig ist.

    Danke schon mal an alle.

    evil
     
    #17
    User 10015, 29 Mai 2005
  18. re_invi
    Gast
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    ich fag mich wozu es lehrer und mitschüler gibt, die das viel besser und direkter erklären können, als das in einem forum der fall ist?!

    inv_
     
    #18
    re_invi, 29 Mai 2005
  19. User 10015
    User 10015 (28)
    Beiträge füllen Bücher Themenstarter
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    Single
    So ich schreib jetzt mal meine Rechung hin. Würde gerne wissen ob die so richtig ist jetzt?

    f(x)=1/4(x^4-ax^2)
    f'(x)=1/4(4x^3-2ax)
    f''(x)=3x^2-0,5a
    f'''(x)=6x

    f(x)''=0

    0=3x^2-0,5a
    x1= positive Wurzel aus 1/6a
    x2=negative Wurzel aus 1/6a

    So, jetzt hab ich die Wendestellen.
    1.Problem. Ich muss sie ja in f(x)''' einsetzen. Was bekomm ich da für x1, x2 raus?

    Berechnung der Wendepunkte.
    x1 und x2 in f(x).
    Da kommt bei mir null raus, für beide. D.h.
    Wendepunkt eins (positive wurzel aus1/6a / 0)
    Wendepunkt zwei (negative Wurzel aus 1/6a / 0)

    Nun zur Wendetangenten.

    g(x) = mx + n (So sieht die in unserer Schule aus)

    Die sechs setze ich in f'(x) ein:

    Dann bekomm ich x1= +1, x2= -1
    Dann setze ich 6 und 1/-1 in f'(x) ein.

    Hier bekomme ich dann für x1=-2 und für x2=2 raus. Damit hab ich jetzt m.
    Dann würde das rauskommen wenn ich alles in g(x) einsetze.

    0= -2 * 1 + n = n=2 = g(x)=-2x+2
    0= 2 * -1 + n = n = -2 = g(x)= 2x-2

    Da würde ich hinausbekommen. Wüsste jetzt gern wo mein Fehler liegt.

    evil

    Das ist ne Hausaufgabe, die soll ich morgen vortragen. Wär ja sonst kein Problem, würd ich auch einfach fragen. Aber so geht das dann ja nicht.

    evil
     
    #19
    User 10015, 29 Mai 2005
  20. re_invi
    Gast
    0
    dein 1.Problem:

    die wendestellen berechnest du über f''. um anschließend zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine wendestelle, oder nur eine flachstelle handelt, musst du die werte von f'' in f''' einsetzen. diese müssen ungleich 0 sein! dann hast du bewiesen, dass die wendepunkte existieren. die y-koordinaten berechnest du, in dem du beide x-werte der wendepunkte in die ursprungsfunktion einsetzt (so wie man eben eine zweite koordinate eines sich auf der funktion befindlichen punktes ausrechnet).

    bei den x-stellen der wendepunkte hast du dich vertan. 0 ist falsch. wenn ich +/-sqrt(1/6 a) einsetze, komme ich auf:

    1/4(sqrt(1/6 a)^4-a*sqrt(1/6 a)^2))
    = 1/4((1/36 a^2)-(1/6 a^2)) = 1/4(-5/36 a) = -5/144 a

    überprüft im plotter, dürfte stimmen.

    da f(x) achsensymmetrisch ist erübrigt sich das einsetzen des negativen wertes, da auch hier das selbe rauskommt.

    2. problem: wendetagenten

    um wendetangenten zu berechnen, brauchst du die steigung am wendepunkt sowie den wendepunkt an sich. erst berechnest du also die steigung an diesem punkt, folglich einfach nur sqrt(1/6 a) in f' einsetzen (ist mir jetzt aber zu blöd im forum, viel zu kompliziert da was zu schreiben).

    du stellst die gleichung y = mx + t (wir haben das immer mit t gelernt) auf. für den wert m setzt du die ausgerechnte steigung ein. für die werte x und y setzt du die koordiaten der wendetangene ein (x / y). dann löst du nach t auf, und rechnest so t aus. nun kannst du eine gleichung der form

    g(x) = mx + t

    aufstellen. somit hast du die aufgabe gelöst. auch hier ist der graf wieder achsensymmetrisch, folglich wird sich nier nur was am vorzeichen der steigung ändern.

    inv_
     
    #20
    re_invi, 29 Mai 2005

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