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Mathe-Prob :( Folgen

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von Jemima, 17 Dezember 2004.

  1. Jemima
    Gast
    0
    Hey!hey! :engel:

    Merry X*mas ans Forum.

    Ich hab ein Problem. :cry:
    Ich schreib am Montag eine wichtige Matheklausur und war leider seit mehr als einer Woche nicht mehr im Unterricht, weil ich zuerst eine Gehirnerschütterung hatte und dann noch zusätzlich eine Grippe gekriegt hab.
    Jedenfalls scheinen dabei meine Mathefelder kaputt gegangen zu sein, weil ich es grad überhaupt nicht mehr schaffe, mir was selbstständig logisch zu erklären und kein Stück voran komm. Meine Mitschüler haben dieses Wochenende anscheinend alle keine Zeit. :geknickt:
    Ich bin in der 13. und wir machen grad Folgen, Eigenschaften von Folgen (Monotonie, Beschränktheit), Grenzwerte von Folgen und Funktionen und vollständige Induktion.
    Kennt sich da vielleicht jemand ein bisschen mit aus und könnte mir bei ein paar Sachen helfen?

    Hugs+snowflakes
    Jemima
     
    #1
    Jemima, 17 Dezember 2004
  2. Rob19
    Rob19 (31)
    Verbringt hier viel Zeit
    852
    101
    0
    Single
    mal sehen, ist schon etwas länger her, aber was geht den nun nicht?

    Wenn das logische denken bei mir aussetzt, dann hab ich alles liegen gelassen und mich entspannt und später wieder in Ruhe begonnen.
    Oder gar nichts gelernt und gehoft das mein Itelligenz ausreicht um eine positive Note zu schreiben *g*
    Hat in 2/3 der Fälle sogar hingehauen :grin:
     
    #2
    Rob19, 17 Dezember 2004
  3. ich bin sam
    Verbringt hier viel Zeit
    95
    91
    0
    Verliebt
    Wir haben zu den Folgen im LK ein "Projekt" gemacht, dabei habe ich möglichst einfach 3 Word-Dokumente erstellt:
    - Definition von Folgen (inkl. Monotonie, arithmetisch, geometrisch)
    - Beschränktheit
    - Konvergenz

    Wenn du Interesse hast, schicke ich dir das mal rüber!
     
    #3
    ich bin sam, 17 Dezember 2004
  4. Jemima
    Gast
    0
    Also vielleicht zuerst mal das mit der Monotonie:
    Um Monotonie nachweisen zu können, bildet man die Differenz
    a(n+1)-a(n) ist das Ergebnis positiv, ist sie monoton wachsend, ist es negativ, ist die Folge monoton fallend.
    Mein Problem ist, dass ich bei fast allen Aufgaben so ewige Rechnungen rausbekomm, dass ich hinterher erst recht nicht sagen kann, ob jetzt was positives oder negatives rauskommt. Im Heft haben wir auch irgendwie keine Beispiele dazu, weil unser Lehrer das meistens in den GTR eingegeben hat und einfach geschaut hat, wie das Schaubild aussieht (wie das geht muss ich erst noch rausfinden...). Oder wir haben das halt mit einer Wertetabelle gemacht. Aber ich glaub besser ist es das so zu machen, wie's in der Definition steht, also mit der Differenz. (Müssen wir wohl so in der Klausur können)
    Bei so Aufgaben wie a(n)= (8n)/(n^2+1) wäre die Differenz dann:
    (8*(n+1))/((n+1)^2+1) - (8n)/(n^2+1)

    oder zB. a(n)=(1+5n^2)/(n*(n+1))
    Das sind jetzt nur zwei Beispiele. Jedenfalls kommen da bei mir irgendwie nur endlos lange Dinger raus, aus denen ich nicht schlau werd.

    Und dann ist die Folge nach oben beschränkt, wenn gilt a(n)<S
    (größergleich soll das heißen)
    und nach unten beschränkt, wenn gilt a(n)>s
    (kleinergleich)
    Muss man die Schranken erraten oder wie?

    :ratlos:

    Ja das wär cool! Vielleicht versteh ich das eher als unser Buch.
    (starkissed_fairy@yahoo.de) :smile:
     
    #4
    Jemima, 17 Dezember 2004
  5. Dirac
    Dirac (34)
    Verbringt hier viel Zeit
    793
    113
    33
    Single
    Es reicht ja, wenn du eine Schranke angeben kannst, irgendeine. Wenn du z.B. 1/n als Folge nimmst, dann ist auch 100 eine obere Schranke-wenn auch eine schlechte, weil du ja siehst, dass 1 auch noch eine ist. Du musst aber nicht die bestmögliche bestimmen, sondern nur irgendeine.
     
    #5
    Dirac, 17 Dezember 2004
  6. Jemima
    Gast
    0
    Hmm, ja. Aber bei komplizierteren Folgen sieht man das doch nicht so auf Anhieb?
    edit: das muss doch die größte und die kleinste sein oder?
    hat das nicht vielleicht irgendwas mit n->unendlich zu tun?

    Im nächsten Kapitel kommt jetzt noch mal was neues zu Grenzwerten. Wenn ich den Grenzwert und das E (Epsilon) hab, kann ich zwar das n(0) berechnen, aber bei den meisten Aufgaben muss man wieder nur den Grenzwert bestimmen und wie das richtig geht, steht im Buch eigentlich auch nicht. Am besten ich tipp mal kurz ab, was hier steht, ich weiß nämlich nicht, wie ich das sonst am besten beschreiben könnte.

    Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge a(n), wenn bei Vorgabe irgendeiner positiven Zahl E (Epsilon) fast alle Folgenglieder die Ungleichung I a(n) – g I < E (das I sollen Betragsstriche sein) erfüllen.
    Fast alle bedeutet dabei, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.

    Mit der Definition des Grenzwertes kann man keinen Grenzwert berechnen, wohl aber nachprüfen, ob eine Zahl Grenzwert einer Folge ist oder nicht.
    Zum Nachweis eines Grenzwertes kann folgende Aussage sehr nützlich sein:
    a(n) hat genau dann den Grenzwert g, wenn (a(n) – g) eine Nullfolge ist. Die Aussage stimmt mit der Definition des Grenzwertes überein,
    da I a(n) – g I < E mit I (a(n) – g) –0 I < E äquivalent ist.
    Für den Nachweis der Konvergenz mithilfe der Definition muss eine konkrete Vermutung für g vorliegen. Man kann die Konvergenz aber auch ohne Vermutung nachweisen.

    Und wie geht das jetzt ohne Vermutung? :frown: Danach kommt noch mal ein Absatz, aber der ist noch unverständlicher...
    Und was ist eine Nullfolge?
     
    #6
    Jemima, 17 Dezember 2004
  7. ich bin sam
    Verbringt hier viel Zeit
    95
    91
    0
    Verliebt
    Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0 konvergiert, etwa
    1/X für x-> unendlich
     
    #7
    ich bin sam, 17 Dezember 2004
  8. Daucus-Zentrus
    Verbringt hier viel Zeit
    1.035
    121
    1
    nicht angegeben
    Eine Nullfolge ist eine Folge, die für "sehr hohe" n jeweils 0 als Folgeglied hat, z.B. 1/n oder 1/n^² , denn wenn man große Zahlen für n einsetzt erhält man als Ergebnis eine "sehr, sehr kleine" Zahl...
    Ich vermute, dass ihr Rechenregeln für Folgen habt, sodass du schon das Ergebnis für bestimmte Folgen im Unterricht hattes (z.B 1/n). Um nun den Grenzwert komplizierterer Folgen zu bestimmen, bastelt man die Folgen so um, dass sie aus den Folgen mit schon bekanntem Grenzwert bestehen, beisp. weiß man, dass 1/n gegen 0 geht, soll man nun g von 1/n^² bestimmen, schreibt man 1/n^² als (1/n)*(1/n). Nun weiß man vll. auch schon, dass das Produkt zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist und erhält so g von a(n)= 0*0=0

    - Bitte bedenke, dass Folgen nur aus natürlichen Zahlen bestehen, weswegen man auch z.B. 1/n statt 1/x schreibt...:smile:
     
    #8
    Daucus-Zentrus, 17 Dezember 2004
  9. Jemima
    Gast
    0
    und wenn dann steht: zeigen sie, dass die differenz (a(n) - g) eine Nullfolge ist:
    a) (3n-2)/(n+2); g = 3
    wie fängt man bei so was an?
     
    #9
    Jemima, 17 Dezember 2004
  10. Daucus-Zentrus
    Verbringt hier viel Zeit
    1.035
    121
    1
    nicht angegeben
    Dann musst du (3n-2)/(n+2)=>3 so umformen, dass du es auf bekanntes zurückführen kannst... Teile jeweils Zähler und Nenner durch n, dann hast du n*(3-2/n)/n(1+2/n), n/n ist gleich 1 -2/n ->0, 2/n->0 also geht die ganze Folge gegen 3...
    Wenn nun die Folge gegen 3 geht, ist die Differenz also eine Nullfolge...
     
    #10
    Daucus-Zentrus, 17 Dezember 2004
  11. Clooney
    Gast
    0
    Bruchrechnung. :zwinker:

    Code:
       (3n-2)/(n+2) - 3
    =  (3n-2)/(n+2) - 3(n+2)/(n+2)
    =  (3n-2-3n-6/(n+2)
    =  -8/(n+2).
    Der Nenner wird mit wachsendem n beliebig groß, der Bruch daher betragsmäßig beliebig klein. Wenn der Betrag einer Folge gegen Null geht, geht auch die Folge selbst gegen Null.
     
    #11
    Clooney, 17 Dezember 2004
  12. Jemima
    Gast
    0
    @ Daucus-Zentrus:
    Das haben wir immer so gerechnet, um den Grenzwert rauszubekommen.
    Der Grenzwert ist ja in diesem Fall 3.
    deshalb ja auch a(n)-3 , das ist die Differenz. Aber dann hab ich doch noch nicht gezeigt, dass die Differenz eine Nullfolge ist oder? Oder geht das dann so weiter wie in Clooneys Rechnung. Ist das Ergebnis -8/n+2 dann eine Nullfolge, weil das n im Nenner steht? Muss ich das immer auf so eine Form bringen und hab dann bewiesen dass es eine Nullstelle ist?

    edit: ist es richtig, dass n nur positiv sein darf? (auch 0?)
     
    #12
    Jemima, 17 Dezember 2004
  13. subsinthe
    Gast
    0
    *gradmal wunder, dass wir das als erstes thema in 12 gerade hatten*
     
    #13
    subsinthe, 17 Dezember 2004
  14. Jemima
    Gast
    0
    Meine Paraklassen haben das Thema fast ausschließlich in 12 gemacht und kriegen den Stoff vermutlich auch bis zum Abi durch. Unser Lehrer ist leider etwas hinterher und deshalb fangen wir erst jetzt an. :tongue: :kotz: ? :grin: ?
     
    #14
    Jemima, 17 Dezember 2004
  15. Daucus-Zentrus
    Verbringt hier viel Zeit
    1.035
    121
    1
    nicht angegeben
    Ehrlich gesagt, ist es etwas schwer dir ein so komplexes Thema hier zu erklären...:zwinker:
    Was Clooney und ich gemacht haben, ist äquivalent...
    8/(n+2) geht gegen 0, weil 8 eine Konstante, also beschränkt ist und 1/(n+2) gegen 0 geht; Regel beschränkte Folge mit Nullfolge multipliziert ist wieder eien Nullfolge..:zwinker:
    Warum geht 1((n+2) gegen 0: Weil 0 < 1/(n+2) < 1/n und 0 logischerweise gegen 0 geht, genauso wissen wir 1/n geht gegen 0, also gehen alle Folgen zwischen 0 und 1/n auch gegen 0...

    Wie ich schon sagte, Folgen bestehen nur aus den natürlichen Zahlen, also 1; 2; 3; ... bis unendlich
     
    #15
    Daucus-Zentrus, 17 Dezember 2004
  16. Jemima
    Gast
    0
    Erm genau! :smile: Das wollt ich sagen *g* Dankeschön!

    Ich hab auch alle Aufgaben lösen können bis jetzt *freu*
    nur die eine ist komisch:
    a(n)= 8n/(n^2+1)
    mit (a(n+1)) / (a(n)) kommt raus > 1 was eigentlich
    monoton wachsend heißt. Laut Schaubild und Tabelle fällt sie aber. :S

    und was ist eigentlich wenn eine Folge nicht monoton ist? Wie seh ich das?
    Ich hab ja nur irgendeinen ewiglangen Term der letztendlich größer oder kleiner 0 (bzw. 1; je nach dem welche Formel) sein müsste, falls die Folge monoton ist - und wenn sie's nicht ist!?
     
    #16
    Jemima, 17 Dezember 2004
  17. Dirac
    Dirac (34)
    Verbringt hier viel Zeit
    793
    113
    33
    Single
    Du kannst es ja auch für große n betrachten, denn der Anfang der Folge ist für die Konvergenz eh uninteressant. Und wenn n groß genug ist, kann ich die 1 im Nenner vernachlässigen und die Folge verhält sich in guter Näherung wie a_n = 8/n. Und das ist monoton fallend. Kann sein, dass die Folge sich am Anfang anders verhält-die Funktion f(x) = 8x/(x^2 + 1) hat vielleicht erstmal einen Extrempunkt und wird erst ab einer gewissen Stelle monoton. Aber das ist eigentlich egal.

    Du kannst ja a_(n+1) - a_n bilden und dann sehen, ob der Ausdruck den du bekommst immer positiv oder immer negativ ist-oder ob er, abhängig von n, mal dieses, mal jenes ist. Im letztgenannten Fall ist die Folge nicht monoton.
    (Alternativ kannst du statt der Differenz auch den Betrag des Verhältnisses bilden und schauen, ob er kleiner oder größer gleich 1 ist.)
     
    #17
    Dirac, 18 Dezember 2004
  18. bamba
    bamba (29)
    Verbringt hier viel Zeit
    184
    101
    0
    vergeben und glücklich
    hmm wir hatten folgen jetzt die ersten 6 wochen der 11. klasse :smile:
     
    #18
    bamba, 18 Dezember 2004

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