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Mathematikproblem

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von User 15499, 7 Januar 2008.

  1. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit
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    32
    nicht angegeben
    Hallo,

    ich muß fürs Studium gerade eine Semesterarbeit schreiben und zwar im Fach Programmieren.
    Jetzt habe ich aber mehr Probleme mit dem mathematischen Teil der Aufgabe, als mit dem programmieren.

    Laut unseres Profs ist die Aufgabe mit der Oberstufenmathematik zu lösen. Nur habe ich dummerweise noch nie was von Taylorreihen gehört und dieses Symbol ∂ ist mir auch gänzlich unbekannt. Muß ich jetzt mein Abi zurückgeben oder kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

    Aufgabenstellung folgt sofort...

    Aufgabenstellung gibt es hier:

    [​IMG]
     
    #1
    User 15499, 7 Januar 2008
  2. xela
    Gast
    0
    Also Taylorreihen dürften wohl kaum zur Oberstufenmathematik zu zählen sein.

    Ansonsten handelt es sich bei dem Symbol ∂ um ein stilisiertes d, um sogenannte partielle Ableitungen bezeichnen zu können. Partielle Ableitungen tauchen immer dann auf, wenn du es mit Funktionen zu tun hast, die nicht nur von einer einzigen Variable abhängen, sondern von mehreren.

    Kleines Beispiel:

    f(x, y, z) = x²*y+z

    Dann steht nun ∂f/∂x für die Ableitung obiger Funktion ausschließlich nach der Variablen x, d. h. y und z sind als beliebige aber konstante Parameter aufzufassen. Entsprechendes gilt für ∂f/∂y und ∂f/∂z. Konkret kommen hier folgende Ausdrücke für die partiellen Ableitungen raus:

    ∂f/∂x = 2x*y
    ∂f/∂y = x²
    ∂f/∂z = 1

    Ist das Prinzip klargeworden?
     
    #2
    xela, 7 Januar 2008
  3. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    Das heißt ∂ ist einfach d? Na toll... Das erleichtert das schon...

    Partielle Ableitung hab ich schonmal gehört, mit deinem Beispiel ist es auch etwas klarer geworden.

    Vielen Dank für deine Antwort, ich versuche das jetzt mal auf die Aufgabe anzuwenden, wenn ich dann glaube, die Formel verstanden zu haben, melde ich mich nochmal.
     
    #3
    User 15499, 7 Januar 2008
  4. Chielo
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Da stimme ich dir zu, Taylorreihen werden in der Schule definitiv nicht behandelt. Wir hatten sie auch im Studium erst ganz am Ende vom ersten Semester.
    Ansonsten kann ich nur sagen gute Erklärung.

    @tetris, ich hoffe mein Zusammenschrieb hilft dir etwas weiter.
     
    #4
    Chielo, 7 Januar 2008
  5. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    Wenn ihr beide das sagt, dann darf ich mein Abi ja behalten :grin:

    Ich schau mir das jetzt mal an, ich melde mich später nochmal (hoffentlich eine Erfolgsmeldung).
    Danke schön!
     
    #5
    User 15499, 7 Januar 2008
  6. unbekannte
    unbekannte (33)
    Verbringt hier viel Zeit
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    20
    Single
    öhm taylerreihen haben wir dieses sem 1 block gehabt und das war so wir haben formeln bekommen für verschiedene geometrischen gebilde und einer aus der klasse hat das in ein prog geschrieben

    und aus der summe wurden dann nach 100 taylerreihen übereinander sägezähne vierecke etc

    excel vom dozent hat übrigens mehrere minuten dran gerechnet bevor der auch nur was angezeigt hat

    edit: warum wir das gemacht haben? man legt nen signal auf ne leitung und wenn es genaus so ankommt weis man das die sensorik zwischen den signalen funzt O_O
     
    #6
    unbekannte, 7 Januar 2008
  7. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben

    Schön, daß ihr das gemacht habt, deine Antwort verfehlt aber leider das Thema :zwinker: Ich wollte wissen, was das ist :tongue:
     
    #7
    User 15499, 7 Januar 2008
  8. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Hallo!


    Du willst wissen, was das ist? Dann erkläre ich das mal ein wenig, hoffentlich anschaulich genug.

    Es geht eigentlich darum, eine Funktion durch ein Polynom anzunähern.

    Stell dir vor, du hast eine Funktion f(x). Diese hat bei x=0 den Funktionswert f(0).

    wenn du jetzt den Funktionswert z.B. ein winziges stück weiter rechts wissen willst, könntest du eine Tangente an die Funktion bei x=0 legen. Diese Tangente hat die Steigung m=f'(0), und somit insgesamt die Formel

    y=f(0)+f'(0)*x

    Du kannst nun für x Werte einsetzten, die nahe bei 0 liegen, und bekommst einen y-Wert, der recht gut mit dem wahren Wert übereinstimmt. Aber es geht noch besser! Statt einer Graden könntest du eine Parabel in die Funktion einpassen. Diese schmiegt sich besser in die Rundungen deiner Funktion, was den Vorteil hat, daß 1. die y-Werte noch besser den wahren Werten entsprechen, und daß dieses Ding sogar für etwas weiter entfernte x-Werte gute Werte liefert. Diese Parabel hat die Form

    y=f(0)+f'(0)*x+1/2 f''(0)*x²


    Du ahnst schon, es geht noch besser. Als nächstes macht man ein Polynom 3. Grades, 4. Grades,...


    Ums nochmal anschaulich zu machen. Dieses Bild stammt von Wikipedia:

    [​IMG]

    Die schwarze Funktion ist die SIN-Funktion, und soll mit Taylor angenähert werden.

    Die grade (rot) ist bis etwa x=0,4 zu gebrauchen, danach weicht sie stark von der eigentlichen Kurve ab.

    grün ist eine Parabel 3. Grades, das schmiegt sich schon besser in die Rundung, und die violette Funktion mit einem Polynom 15. Grades reicht schon bis x=6.
     
    #8
    Event Horizon, 7 Januar 2008
  9. xela
    Gast
    0
    Wobei hier das Wissen um Taylorreihen mehr oder weniger irrelevant ist, es sei denn, du möchtest verstehen, wie Gleichung (2) überhaupt zustande kommt. Ansonsten brauchst du eigentlich nur die angegebenen fertigen Gleichungen und das Wissen, wie man partielle Ableitungen ausrechnet.

    (Übrigens: Herzlichen Glückwunsch zum Geburtstag.)
     
    #9
    xela, 7 Januar 2008
  10. dk85
    dk85 (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    taylorreihen oder taylorentwicklungen sind der ansatz komplizierte funktionen durch summationen darzustellen. dabei gilt, dass man immer genauer an den echten wert der funktion herankommt, umso mehr reihenglieder man aufsummiert. das ist hilfreich z.b. beim berechnen von grenzwerten. als beispiel gilt für sin x die taylorentwicklung:

    sin x = summe (n=0 bis unendlich) (-1)^n / (2n+1)! * x^(2n+1)

    für den cos x diese:

    cos x = summe (n=0 bis unendlich) (-1)^n / (2n)! * x^(2n)

    will man jetzt den grenzwert für die funktion:

    lim x->0 x³*sin x / (1-cos x)²

    berechnen geht das mit den taylorentwicklungen recht einfach:

    den sin x entwickle ich bis zum 1ten glied (2mal also für 0 und 1), den cos x bis zum 2ten glied (3 mal also 0,1 und 2):

    sin x = x - x³/3! +...
    cos x = 1 - x²/2! + x^4/4! - ...

    das setz ich dann ein:

    => x³ * (x - x³/3!) / ( 1- ( 1-x²/2! + x^4/4!))²
    = (x^4 - x^6/6) / (x^4/4 + x^6/24²) | :x^4
    = (1- x²/6) / (1/4 + x²/24²)
    für x -> 0
    1 / (1/4) = 4...

    das war doch einfach :zwinker:

    naja prinzip ist hoffentlich klar geworden..
     
    #10
    dk85, 7 Januar 2008
  11. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    Danke schön :smile:

    Naja, ich weiß schon gerne grob, was ich eigentlich mache :zwinker:
    Und das ∂ mußte ich wissen, um das in ein Programm zu packen, und dann die Gleichungen ab Gleichung (2) mit Winkelfunktionen darzustellen.

    Aber ich glaube, ich habs jetzt auch halbwegs verstanden. Nur ist die Gleichung so ewig lang, die ich jetzt rausbekommen habe... aber vielleicht kann ich die noch anders darstellen
     
    #11
    User 15499, 7 Januar 2008
  12. xela
    Gast
    0
    Off-Topic:
    Thema verfehlt. :grin:

    Verstehe ich jetzt ehrlich gesagt nicht ganz. Wie willst du das ∂ in ein Programm packen? Wenn es wirklich um das Beispiel geht, was da auf dem Bild angegeben ist, dann rechnet man doch alle partiellen Ableitungen vorher auf einem Blatt Papier aus und setzt die dabei erhaltenen Ausdrücke in die Gleichungen (2) ff. ein und formuliert das dann als Code.

    Wenn das Programm, wenn ich es richtig sehe, lediglich h und (delta h)/h ausgeben soll, dann brauchst du nur Gleichung (1) und (3). Alle anderen Gleichungen kannst du dir eigentlich knicken, weil du nur programmintern das Ergebnis von (3) durch das von (1) zu dividieren brauchst, um auf (delta h)/h zu kommen. Eines analytischen Ausdruckes speziell hierfür bedarf es also gar nicht. Der analytische Ausdruck für (1) ist bereits gegeben und so brauchst du dir nur den für (3) zu überlegen.

    Siehe vorheriger Abschnitt.
     
    #12
    xela, 7 Januar 2008
  13. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    ich muß h(α,β) ausrechnen und dafür mußte ich wissen, was überhaupt dieses ∂ ist. Und da ich keine Ahnung hatte, woher die Gleichung kommt und warum, hab ich gefragt :zwinker:
    und wenn ich die Gleichung 2 schon nicht ganz verstehe, dann versteh ich auch die 3 nicht :zwinker: Aber das ist jetzt klar.
     
    #13
    User 15499, 7 Januar 2008
  14. *LordHelmchen*
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Off-Topic:
    Ich möchte noch einwerfen, das Taylorreihen durchaus auch im Abi vorkommen können, zumindest als ich mein Abi 2005 in NRW gemacht habe kamen Taylorreihen im Leistungskurs Mathe dran.
     
    #14
    *LordHelmchen*, 7 Januar 2008
  15. xela
    Gast
    0
    Off-Topic:
    Sie werden durchaus auch mal in der Oberstufe angesprochen, das war bei mir auch so. Trotzdem sind Taylorreihen an und für sich kein Thema der Oberstufe, jedenfalls nicht in dem Umfange, wie man ihn hier bräuchte. Hier brauchen wir die Taylorentwicklung von Funktionen mehrerer Variablen und nicht nur einer.
     
    #15
    xela, 7 Januar 2008
  16. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    Also, ich glaube, ich bin ein bißchen weitergekommen. ICh hab jetzt etwas im Internet gestöbert, weil ich die Gleichung bei ∂h/∂α nicht weiter vereinfachen konnte.

    Ich habe jetzt bei Wikipedia unter Differentialgeometrie das hier gefunden:
    [​IMG]

    Darf ich diese Formel verwenden? Mit r=α, ∲=β und x=h?
    Denn ich befinde mich ja in einem Raum, den ich als kugelförmig betrachten kann. Oder geht das nicht, weil es sich bei α und β um zwei Winkel von verschiedenen Punkten aus handelt?

    Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, bin kurz vorm verzweifeln...
     
    #16
    User 15499, 8 Januar 2008
  17. dk85
    dk85 (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    also, das problem ist schon ziemlich konkret. dennoch versuch ichs mal:

    die berechnungs einheit verlangt das alpha1, alpha2, beta1, beta2 und ein a eingegeben werden. das h berechnet sich nun über die gegebene formel, die so implementiert werden kann.
    um das delta h / h zu berechnen musst du nun V alpha und V beta berechnen, indem du die formel für h einmal nach alpha und einmal nach beta ableitest. wie das geht hat xela im 2ten post beschrieben.
    die verstärkung, wie es da heisst, setzt du dann in gl(6) ein, welche du dann auch als funktion in deine berechnungseinheit implementieren kannst. delta alpha und delta beta kommen von der taylorreihe und beschreiben den entwicklungspunkt. für delta alpha ist (alpha2 - alpha1) und delta beta (beta2 - beta1) einzusetzen.

    die formel die du da gefunden hast kommt aus der koordinaten transformation und wird dir bei dem problem nicht weiterhelfen.

    zur lösung der aufgabe benötigst du die gleichungen (1) (2) (4) (5) und (6). gleichung (3) dient, so wie ich das sehe, nur der herleitung der beträge. warum die eingeführt werden ist im aufgaben text beschrieben.

    //ich bin mir bei dem lösungsweg nicht sicher! das wäre mein ansatz!! womöglich habe ich auch etwas wesentliches übersehen, daher möge man mir fehler in diesem post
    verzeihen...
     
    #17
    dk85, 8 Januar 2008
  18. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Vorab, ich bin über jede Hilfe dankbar. Selbst wenn der Ansatz falsch sein sollte, hilft er mir, den Fehler zu vermeiden. ;-)
    Dein Ansatz klingt auch so wie der, den ich vor Augen habe.

    Das Problem ist jedoch, daß ich bei der Ableitung für Vα bzw Vβ schon festhänge. Ich hab die Ableitung gemacht, aber da kommt ein endlos langer Therm raus, der sich nicht vereinfachen läßt. Zumindest nicht mit meinen Mathekenntnissen...Und daraufhin hab ich halt geschaut, was man da machen kann und bin auf diese Gleichung gestoßen, die Ähnlichkeit mit der Gleichung Δh=∂h/∂α * Δα + ∂h/∂β *Δβ hat. Schade, hätte ja passen können...

    Ich fang jetzt einfach nochmal von vorn an, vielleicht hab ich einen ganz blöden Fehler reingebaut.
     
    #18
    User 15499, 8 Januar 2008
  19. dk85
    dk85 (31)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    ich hab die ableitungen auch mal gemacht. ich krieg für

    ∂h/∂alpha = (a*tan beta)/cos²alpha * (1/(tan beta - tan alpha) + tan alpha/(tan beta - tan alpha)²)

    raus und für

    ∂h/∂beta = (a*tan alpha)/cos²beta * (1/(tan beta - tan alpha) - tan beta/(tan beta - tan alpha)²)

    ..

    auch hierfür wieder keine gewähr. vielleicht kann ja mal einer matlab oder maple dransetzen..

    //edit: also die obere stimmt jetzt so, konnte mir grade ein kumpel bestätigen ders mit maple gerechnet hat. ich habe die ableitung des tangens mit 1/cos²(x) gewählt statt 1+tan²(x).

    //edit2: so, zweite sollte auch so stimmen. kann aber noch stark vereinfacht werden mit diversen trigonometrischen umformungen.
     
    #19
    dk85, 8 Januar 2008
  20. User 15499
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    Meine Ableitung sieht ganz anders aus... Aber die ist auch falsch :grin:

    Wie kommst du denn auf das cos²? :schuechte Hast du vorm Ableiten, während dessen oder danach irgendwann tan=sin/cos gesetzt?
     
    #20
    User 15499, 8 Januar 2008

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