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Poisson-Verteilung *aahhh* ich hab schon weider ne FRage

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von laguna, 27 November 2006.

  1. laguna
    Gast
    0
    Hey,

    ich hab schon wieder n Problem mit der Stochastik^^ *grrrrr*
    Also, die folgende Aufgabe haben wir heute bekommen:

    In den Telefonzellen vor einem Postamt wünschen in Stoßzeiten durchschnittlich 120 Personen je Stunde zu telefonieren. Die mittlere Gesprächsdauer beträgt 2 Minuten. Reichen 5 Zellen aus, wenn die Wahrscheinlichkeit, warten zu müdden, nicht über 20% liegen soll.

    :confused_alt:

    ich würd ma tippen, die 5Zellen reichen :grin: aber ich glaub, ne Rechnung wär auch nit schlecht.


    2. Eiine Firma stellt Kupferdraht mit Plastikisolation her. Auf 100m Draht kommen durchschnittlich 20 Isolationsfehler. Bei der Weiterverarbeitung wird der Draht in Stücke von 2m Länge geschnitten. Mit welcher Wahrscheinlchkeit treten auf einem der Teilstücke höchstens 2 Isolationsfehler auf?


    Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte, und mir sagen könnte, was ich für n, p und k nehmen soll.
    (Die n,p,k sind bei mir sowieso immer n Problem, bei so komikschen aufgaben... aber bei den andern Aufgaben hats geklappt, nur bei diesen beiden nicht)

    THX schonma :herz:
    laguna

    *waaaah* und übernächste Woche Mathe-Klausur
     
    #1
    laguna, 27 November 2006
  2. xela
    Gast
    0
    Die Anwort ist leider etwas lang geworden. Ich hoffe, das schreckt dich nicht zusehr ab. Die eigentlichen Rechnungen sind aber ziemlich kurz.


    Zunächst einmal zur Definition der Poisson-Verteilung.

    Ein Elementarereignis, als so das, was bei einem Versuch rauskommen kann, ist hier eine Zahl, nennen wir sie mal k, die bei jedem Versuch genau einen der folgenden Werte annehmen kann:

    0, 1, 2, 3, 4, usw. beliebig groß

    Eine Zufallsvariable X ist genau dann Poisson-verteilt, wenn ihr Erwartungswert eine Zahl lambda>=0 ist und für die Wahrscheinlichkeit, daß bei einem Versuch genau die Zahl k als Ergebnis rauskommt, gilt:

    P(X=k) = (lambda^k/k!)*e^-lambda


    Streng genommen scheint mir diese Aufgabe so noch nicht lösbar zu sein, da meiner Meinung nach die konkrete Verteilung der Gesprächsdauer eine Rolle spielt und die bloße Information über deren Mittelwert zur Lösung des Problems noch nicht ausreicht.

    Wir machen deshalb im folgenden die einfachstmögliche Annahme, daß jeder, der ins Postamt zum Telefonieren kommt, genau 2min telefoniert, nicht mehr und nicht weniger.

    Wir machen noch eine weitere Annahme, die die Betrachtung erst verhältnismäßig einfach macht. Wir nehmen an, daß jeder, der ins Postamt kommt und warten müßte, alle Lust am Telefonieren verliert und wieder abhaut. Damit wird sichergestellt, daß jeder der ins Postamt kommt, die gleichen Chancen hat, weil sich ja nun kein "Stau" mehr ansammeln kann, der erst "abgearbeitet" werden müßte.

    Die Anzahl X der Menschen, die in zwei Minuten ins Postamt zum Telefonieren kommt, ist hier Poisson-verteilt. (Warum genau Poisson-verteilt und nicht anders verteilt? Diese Antwort kann ich dir so in Kürze leider nicht geben.)

    Der Erwartungswert für die Anzahl der Personen, die in 2min das Postamt betreten, ist gegeben durch:

    lambda = (120/60min)*2min = 4

    Wir stellen uns vor, daß wir jetzt mal das Postamt betreten und stellen uns deshalb folgende Frage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in den vorangegangenen 2min maximal 4 Menschen das Postamt betreten haben? (Dann brauchen wir nämlich nicht warten, sondern können gleich die fünfte noch freie Telefonzelle nehmen. Sind mindestens fünf Leute in den vorrangegangenen 2min reingegegangen, müßten wir mit Sicherheit warten.)

    Es ist

    P(X<=4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß wir warten müßen, ist nun gegeben durch:

    P(wir müßen warten) = P(X>=5) = 1 - P(X<=4)

    Was du machen mußt, ist nun die obige Formel für P(X=k) anzuwenden, um P(wir müßen warten) auszurechnen und mit den 20% zu vergleichen.

    Hier ist die Anzahl X der Isolationsfehler pro Teilstück Poisson-verteilt. (Warum genau? Kann ich dir leider in der Kürze nicht erklären.)

    Der Erwartungswert für die Anzahl der Isolationsfehler pro Teilstück ist hier:

    lambda = (20/100m)*2m = 0,4

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Teilstück höchstens zwei Isolationsfehler hat?

    P(höchstens zwei Isolationsfehler für ein herausgegriffenes Teilstück) =
    P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

    Formel für Poissonverteilung hier einsetzen, und du erhältst das Ergebnis.

    Wenn ich mich mal so an Standardnotationen und Bezeichnungsweisen erinnere, dann sind n, p und k die Parameter für die Binominalverteilung. Die Binominalverteilung hat mit der Poissonverteilung rein gar nichts zu tun, das sind zwei vollkommen verschiedene Paar Schuhe.

    Der einzige Fall, wo du überhaupt was mit Binominalverteilung rechnen kannst, ist bei Problemen folgenden Typs:

    1. Als Elementarereignis sind einzig folgende Werte zu gelassen:

    0, 1, 2, ..., n-1, n

    Wobei n eine vorher festgelegte fixe natürliche Zahl ist.

    2. Ein Elementarereignis wird wie folgt ermittelt:

    a) Man nehme n identische zweiseitige Münzen, die auf der einen Seite eine 0 und auf der anderen eine 1 zu stehen haben.

    b) Jede dieser Münzen ist dabei so konstruiert, daß sie mit einer Wahrscheinlichkeit p eine 1 zeigt, wenn man sie wirft (und sonst natürlich eine 0). Dabei ist p eine vorher festgelegte fixe Zahl zwischen 0 und 1.

    c) Ein Versuch läuft nun wie folgt ab: Man werfe alle n Münzen, und summiere anschließend die Zahlen, die sie zeigen.

    Das Ergebnis, d.h. diese Summe, genau das ist unser Elementarereignis.


    So, die Wahrscheinlichkeit bei einem solchen Versuch als Elementarereignis genau k rauszubekommen, ist nun gegeben durch:

    P(X=k) = (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k)

    Desweiteren gibt es für diese spezielle Verteilung, noch kompakte Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung.

    Leider kannst du diese Formeln nur dann anwenden, wenn du es tatsächlich mit einem Problem zu tun hast, welches auch wirklich durch die Binominalverteilung beschrieben wird, und das trifft auf fast alle Probleme leider nicht zu, sondern nur auf Probleme, die solchen Münzwerfspielchen analog sind.
     
    #2
    xela, 27 November 2006

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