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Polstellen u. behebbare Definitionslücken...

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von DerRabauke, 2 Dezember 2008.

  1. DerRabauke
    DerRabauke (30)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe und ich weiß nun nicht ob ich dort falsch rechne oder ob ich als Ergebnis mal wieder einen Druckfehler auf dem Aufgabenzettel habe (dafür ist der Lehrer bekannt) :geknickt:

    Also, es soll ersteinmal geprüft werden an welchen Stellen die folgende Funktion nicht definiert ist und danach, ob an den Stellen Polstellen oder Definitionslücken, und ob diese behebbar sind, vorliegen!?

    f(x) = (x²-1/2x-1/2)/(x²-3x+2)

    D = R\{1; 2}

    ...also müssen nun die Stellen 1 und 2 mithilfe des links- sowie rechtsseitigem Limes überprüft werden.


    Wenn jemand Langeweile oder Spaß daran hat, ich bin mal wieder für Hilfe sehr dankbar :grin:
     
    #1
    DerRabauke, 2 Dezember 2008
  2. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Hallo!


    Den Nenner hast du doch schon geschafft, den schreibst du jetzt als Linearfaktor:

    f(x) = (x²-1/2x-1/2)/[(x-1)(x-2)]

    Jetzt mußt du noch den Zähler als Linearfaktor schreiben. Durch Probieren siehst du recht schnell, daß x=1 ne Nullstelle ist, die zweite ergibt sich durch Polynomdivision, oder indem du die PQ-Formel anwendest. Das überlasse ich dir, ich nenne die NUllstelle mal n.


    f(x) = [(x-1)(x-n)]/[(x-1)(x-2)]

    Da kürzt sich was raus:

    f(x) = (x-n)/(x-2)

    Die Schwierigkeiten, die sich bei x=1 ergeben, scheinen sich aufgelöst zuhaben. Und das heißt: Hier ist KEINE Polstelle, wohl aber ne hebbare Lücke, denn in die ursprüngliche Gleichung darfst du x=1 ja dennoch nicht einsetzen.

    Jetzt bleibt die Frage, was mit dem Rest passiert, das ist auf jeden Fall ein Pol, denn n ist nicht =2.

    Wenn du zahlen knapp unter 2 einsetzt, ist (x-2)<0. Negatives Vorzeichen unter dem Bruchstrich. Welches Vorzeichen hat denn der Zähler, wenn x knapp kleiner als 2 ist? Und welches Vorzeichen hat demnach der gesamte Bruch? Damit weißt du, ob der Pol links nach oben oder unten geht. Genauso macht du das für x-Werte knapp größer 2. Der Nenner ist dann positiv, der Zähler hat das gleiche Vorzeichen wie vorher auch. Demnach geht die Funktion rechts von der Polstelle in genau die entgegengesetzte Richtung.
     
    #2
    Event Horizon, 2 Dezember 2008
  3. xela
    Gast
    0
    Definiert ist eine gebrochenrationale Funktion genau an all den Stellen nicht, wo im Nenner eine Null herauskommt, da man durch die Null eben nicht dividieren kann.

    Die Nullstellen des Nenners sind in unserem Fall, wie von dir weiter unten bereits genannt, die 1 und die 2. Folglich bist du mit dem Auffinden der Definitionslücken bereits fertig.

    Du bringst hier etwas durcheinander. Nicht Polstellen oder Definitionslücken. Polstellen sind nämlich immer Definitionslücken.

    Die Frage lautet vielmehr: Handelt es sich bei einer gegebenen Definitionslücke um eine Polstelle oder um eine hebbare Definitionslücke?

    Um diese Frage zu beantworten, muß man sich für jede Definitionslücke - in unserem Fall die 1 und die 2 - anschauen, was der Zähler an diesen Stellen für einen Wert hat.

    Hat der Zähler dort einen von Null verschiedenen Wert, so handelt es sich immer um eine Polstelle.

    Wird der Zähler an derselben Stelle Null wie der Nenner, so kann es sich bei der Stelle immer noch entweder um eine Polstelle oder um eine hebbare Definitionslücke handeln. Um hier nun eine Entscheidung treffen zu können, muß man sich die Vielfachheiten der Nullstelle in Zähler und Nenner anschauen. Das macht man am besten, indem man sich die Polynome in Zähler und Nenner jeweils in Linearfaktordarstellung aufschreibt.

    Sind die Vielfachheiten der Nullstelle in Zähler und Nenner gleich, so ist es eine hebbare Definitionslücke. Andernfalls handelt es sich erneut um eine Polstelle.
     
    #3
    xela, 2 Dezember 2008

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