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Schneeball

Dieses Thema im Forum "Fun- & Rätselecke" wurde erstellt von xross, 11 Januar 2005.

  1. xross
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    vergeben und glücklich
    Ein Bub macht 2 Schneebälle, wobei der Größere den doppelten Durchmesser des Kleinen hat. Ahnungslos, wie er ist, bringt er sie in die warme Stube, um sie seiner Großmutter unter die Nase zu halten, wo sie natürlich zu schmelzen begingen. Da nur die Oberfläche mit der warmem Luft in Berührung kommt, ist die schmelzende Schneemenge proportional zur Oberfläche.
    Wieviel ist vom kleineren Ball übrig, wenn das halbe Volumen des Größeren weggeschmolzen ist?
     
    #1
    xross, 11 Januar 2005
  2. Dirac
    Dirac (34)
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    Geht bestimmt auch irgendwie einfacher, aber ich würde erstmal so ansetzen:

    Wenn die schmelzende "Schneemenge" (ich verstehe darunter mal das Volumen) in jedem Zeitpunkt proportional zur Oberfläche ist, dann müsste ja sowas gelten wie

    dV(t)/dt = a*A(t) (a: Proportionalitätskonstante)

    Bei der Kugel ist ja bekanntlich V(t) = 4pi/3 (r(t))^3 und A(t) = 4pi (r(t))^2, also haben wir

    4pi/3 *3(r(t))^2 * dr(t)/dt = 4api*(r(t))^2. Da wir davon ausgehen können, dass der Radius in unserem Problem nie Null ist, können wir dadurch dividieren und erhalten (zugleich durch 4pi dividiert)

    dr(t)/dt = a

    Die Anfangsbedingungen sind (Index k für kleinen, g für großen Schneeball)

    r_k(0) = R; r_g(0) = 2R

    Die Lösung der obigen DGL ist r(t) = at + r_0; mit den Anfangsbedingungen hab ich

    r_k(t) = at + R und r_g(t) = at + 2R (Ich hab in beiden Fällen a genommen, weil man sonst ja eh nix sagen kann.)

    Das Volumen des großen Balles soll auf die Hälfte geschmolzen sein, also muss r_g(T) = 2^(-1/3) * 2R sein = > aT + 2R = 2^(-1/3)*2R => T = 2/a * (2^(-1/3) -1)R
    Eingesetzt in r_k(t) hab ich r_k(T) = 2*(2^(-1/3) -1)R + R = 2^(2/3)R - R = (2^(2/3) -1)R, der Radius ist also auf das (2^(2/3) - 1)-fache zurückgegangen; der Zahlenwert ist ca. 0,587. Damit ist das Volumen natürlich um das 0,587^3-fache zurückgegangen, beträgt also V(T) = 0,203V(0). Also sind 20,3% übrig.

    So, wer sagt als erster, dass ich bekloppt bin und das einfacher ging? :tongue:
     
    #2
    Dirac, 12 Januar 2005
  3. xross
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    vergeben und glücklich
    Es geht nur unwesentlich kürzer, aber da ja das Ziel zählt und net der Weg...sauba :bier:
     
    #3
    xross, 12 Januar 2005
  4. Dirac
    Dirac (34)
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    Cool, mein erster Punkt seit langer Zeit. :cool1: Nicht, dass jemand sich gefunden hätte, der meinen ersten Platz ernsthaft in Gefahr gebracht hat, aber man muss den Vorsprung ja auch mal ausbauen... :link: :grin: :engel:
     
    #4
    Dirac, 12 Januar 2005

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