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Schweres Mathematisches Rätsel (kenne die Lösung nicht!)

Dieses Thema im Forum "Fun- & Rätselecke" wurde erstellt von Marla, 17 Juni 2005.

  1. Marla
    Marla (33)
    Verbringt hier viel Zeit
    1.436
    123
    1
    nicht angegeben
    Hey, ich hoffe auch sowas darf man hier posten...

    man hat 1000 glühbirnen. an jeder befindet sich ein an/aus-schalter. alle glühbirnen sind aus. nun betätigt man an jeder glühbirne einmal den schalter. danach betätigt man an jeder zweiten glühbirne einmal den schalter. danach an jeder dritten glühbirne einmal den schalter....usw usw usw....am ende an jeder 1000. glühbirne einmal den schalter.

    welche glühbirnen sind nach dieser prozedur an?

    Wie kommt man darauf?
     
    #1
    Marla, 17 Juni 2005
  2. gshock
    Gast
    0
    An sind am Ende alle die, die eine ungerade Anzahl Mal erwischt worden sind.
    Die Frage ist also, welche Zahlen zwischen 1 und 1000 eine ungerade Anzahl Teiler haben.
    Das sind die, in denen ein Teiler doppelt enthalten ist.
    Also sicher mal alle Quadratzahlen von Primzahlen, die haben bekannterweise genau drei Teiler (1, x und x^2)
    aber es gibt wohl noch mehr, finds grad schwierig "formalisierbar"...
    hm!
     
    #2
    gshock, 17 Juni 2005
  3. Dirac
    Dirac (34)
    Verbringt hier viel Zeit
    793
    113
    33
    Single
    Wie kann ein Teiler doppelt enthalten sein? :ratlos: Du beziehst dich anscheinend auf die Primfaktorzerlegung, aber die spielt hier keine Rolle-man muss alle Teiler betrachten. Also bei 45 z.B. nicht 1, 3, 5 (Primfaktorzerlegung 45 = 1*3^2*5) sondern 1,3,5,9,15,45.
     
    #3
    Dirac, 17 Juni 2005
  4. gshock
    Gast
    0
    z.B Quadratzahlen eben.
    "Doppelt enthalten" ist blöd ausgedrückt, aber ich glaube, es kam schon raus, was ich meinte :zwinker:
    Nämlich dass der selbe (Prim)Faktor in der Zerlegung im Quadrat, oder hoch 4, hoch 6 etc. vorkommt.

    Alle Faktoren, die in einer ungeraden Potenz vorkommen, tragen nichts bei zu einer Änderung des Endzustands der Lampe.
     
    #4
    gshock, 18 Juni 2005
  5. Cheater!
    Cheater! (31)
    Verbringt hier viel Zeit
    32
    93
    1
    Single
    thx @gshock, für die idee:

    es sind schlichtweg alle quadratzahlen, die am ende übrig bleiben.

    habs so überlegt: man schreibt alle teiler einer zahl auf.
    und zwar systematisch wie z.b. bei 72: 1-72, 2-36, 3-24, 4-18, 6-12, 8-9, fertig.
    nun hat man also eine gerade anzahl von teilern (die lampe ist also aus).
    die einzige möglichkeit, eine ungerade anzahl von teilern zu bekommen, ist wenn man in der mitte auf die wurzel der zahl trifft, also statt 8-9 z.b. 8-8
     
    #5
    Cheater!, 18 Juni 2005
  6. gshock
    Gast
    0
    ohja, stimmt!
     
    #6
    gshock, 18 Juni 2005
  7. Cigarman
    Cigarman (31)
    Verbringt hier viel Zeit
    6
    86
    0
    Single
    Mit ein wenig "höherer" :grrr: Mathematik ist das sowieso ganz einfach. Es gibt nämlich eine Formel für die Anzahl /tau der Teiler einer Zahl. Angenommen, eine Zahl n lässt sich folgendermaßen in Primfaktoren zerlegen:
    n=p1^a1+...+pn^an.
    Dann ist die Anzahl der Teiler klarerweise (a1+1)*...*(an+1).
    Und die Glühbirne ist am Ende an, falls /tau ungerade ist. Naja, wann ist ein Produkt von Zahlen ungerade? Klarerweise wenn jede Zahl ungerade ist. Also müssen (a1+1) bis (an+1) ungerade sein, also a1 bis an gerade. Also alle Zahlen, in denen alle Primfaktoren nur in gerader Anzahl vorkommen. Also alle Quadratzahlen. q.e.d :link:
     
    #7
    Cigarman, 2 Juli 2005
  8. Marla
    Marla (33)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
    1.436
    123
    1
    nicht angegeben
    Oh wei, das klingt für mich alles ziemlich chinesisch :smile: ne antwort als zahl hat niemand, oder?
     
    #8
    Marla, 5 Juli 2005
  9. gshock
    Gast
    0
    Cheater! hat's doch einfach genug gesagt: alle Quadratzahlen. die erste Lampe, die 4., 9., 16., ... :smile:
    (jetzt musst Du Dir bloss noch überlegen, welche Zahl die erste ist, welche quadriert 1000 übersteigt. Geh mal von 30 aus aufwärts beim Probieren :bier: )
     
    #9
    gshock, 5 Juli 2005
  10. Leni89
    Verbringt hier viel Zeit
    21
    86
    0
    Single
    an bleiben alle quadratzahlen, denn es muss eine ungerade anzahl von betätigungen des schalters erfolgen. (cooler satz oder? :engel: )
    das ist nur bei allen quadratzahlen die folge, weil es sonst immer ein gegenstück gibt...
    denn zb ist ja 2 mal 3 = 6 (also wieder ausgeglichen) dazu kommt bei jeder zahl die 1 und die zahl selber... bei quadratzahlen jedoch ist es anders. hier wird zum beispiel 3 mal 3 genommen, das ergibt 9, aber die 3 wird ja deshalb nicht doppelt gezählt, also fehlt sozusagen das gegenstück und die betätigungszahl des schalters ist ungerade.

    so jetzt werde ich mal schauen wieviele quadratzahlen es gibt:
    die Wurzel aus 1000 ist 31,6228 also müssten theoretisch 31 lampen anbleiben
    (lampen nummer 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900 und 961)

    Ich hoffe das war halbwegs verständlich^^
     
    #10
    Leni89, 22 Juli 2005

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