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  • User 66279
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    17 Februar 2010
    #1

    Unterschied zwischen Gewöhnlicher und Linearer Differenzialgleichung 1. Ordnung?

    Mal ne Frage: Kennt jemand den genauen Unterschied bzw. Erkennungsmerkmale zwischen Linearen DGL 1. Ordnung und Gewöhnlichen DGL 1. Ordnung? Die Linearen scheinen ja eine Spezialform der Gewöhnlichen zu sein ... immer dann, wenn ein Test auf Exaktheit negativ ausfällt? Man kann ja (viele) gewöhnliche DGLs so umwandeln, dass dp/dy = 0 = dq/dt , aber das macht sie denke ich nicht exakt oder? Und was hat man davon, eine Stammfunktion (F) für exakte DGLs herauszufinden?
     
  • User 85905
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    17 Februar 2010
    #2
    Hallo! :winkwink:

    Leider kann ich dir nicht wirklich helfen. Ich habe so ziemlich alles wieder vergessen und als ich mich per wiki mal kurz einlesen wollte, kam immer wieder der Punkt "Ach, [Anfangswertproblem], dieses Wort kommt mir auch bekannt vor..."
    Ich habe damals viel Hilfe im Matheforum bekommen.

    Dort gibt es auch ein paar Artikel zum Thema DGLs, die hier gesammelt sind.
     
  • Dirac
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    17 Februar 2010
    #3
    Irgendwie finde ich die Frage ziemlich wirr, ich glaube da geht einiges durcheinander bei dir... :ratlos: :zwinker: Linear ist eine DGL (ob nun gewoehnlich oder partiell ist dabei wurscht) wenn eben die gesuchte Funktion maximal linear vorkommt, aber nicht das Quadrat der Funktion, eine andere Potenz oder eine noch kompliziertere Funktion wie z.B. der Logarithmus der Funktion. Also z.B.

    f'(x) + x^2 f(x) = Log(x)

    ist eine lineare DGL fuer f(x), hingegen

    f'(x) + x (f'(x))^2 = 1

    ist keine lineare DGL. Es kommt also auch nur darauf an wie die Funktion selbst drin vorkommt, dass in der ersten DGL die Variable x nicht nur linear eingeht ist egal.

    Das andere mit den exakten DGL da verstehe ich nicht worauf du hinauswillst, sorry. :ratlos:
     
  • solitarius
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    17 Februar 2010
    #4
    Hallo!

    Eine gewöhnliche DGL beinhaltet nur Ableitungen einer Funktion nach EINER Variablen. Die Wellenfunktion z.B. beinhaltet Ableitungen nach Zeit UND Raum, ist daher keine DGL.

    Eine Lin. DGL erkennst du daran, daß wenn du eine Lösung X(t) hast, auch a*X(t) mit beliebigem a eine Lösung ist. Das erkennst du daran, daß jeder Summand der DGL die Funktion oder ihre Ableitung nur einfach, also linear enthält. Beispiel: 5x''(t)+4x'(t)+3x(t)=0
     
  • User 44981
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    17 Februar 2010
    #5
    Eine gewöhnliche DGL erhält nur die Ableitung(en) einer Funktion nach genau einer Variablen.

    Eine DGL ist linear, wenn die Funktion und ihre Ableitungen nur linear und nicht in anderen Potenzen darin vorkommen. (also kein (f(x))^2 oder (f'(x))^3)


    Also ist z.B. f'(x) + (f(x))^2 = 5 eine gewöhnliche, aber keine lineare DGL.

    Dafür ist f'(x) + 3 f(x) = 2 gewöhnlich und linear.
     
  • User 66279
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    17 Februar 2010
    #6
    Danke erstmal! :smile:
    also kann man jede lineare DGL über den Ansatz mit Y_I = y_H + y_p lösen und der Algorithmus mit der Stammfunktion von Blatt 5 wäre nur eine Vereinfachung, FALLS die DGL exakt ist ... richtig? ^^

    Das mit dem Blatt 5 kommt, weil ich noch in nem andern Forum gepostet hab, wo die Leute wissen, was ich mit Blatt 5 meine ^^
     
  • Q-Fireball
    Q-Fireball (37)
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    17 Februar 2010
    #7
    Jaein hängt davon ab ob du eine DGL mit Anfangswertbedingung lösen willst oder nicht.
    Für Lineare DGL. der Form y'= f(x)y + g(x) ist das aber richtig:
    y(x) = C y_h(x) + y_p(x)
    (Du hast C vergessen oder?)
    Diese Methode nennt sich Variation der Konstanten.
    Dann gibt es die Spezialfälle:
    y' = ay
    y'= a/x * y
    Ersteres hat die Lösung: y= C e^(ax)
    Zweiteres hat die Lösung: y = C x^(a)

    Dann gibt es noch Bernoulli- und Riccati-DGL sind zwar keine Linear DGL mehr aber gehören noch zu dieser Kathegorie.
    Eine andere Kathegorie sind z.B. die "getrennte Veränderliche":
    y' = f(x) g(x) DGL.
     
  • User 66279
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    17 Februar 2010
    #8
    hmmm ja ich glaub so langsam hab ichs gerallt, danke allen :smile:
     

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