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Was ist ein Grenzwert? (Mathe)

Dieses Thema im Forum "Off-Topic-Location" wurde erstellt von Shakti, 11 Oktober 2005.

  1. Shakti
    Shakti (28)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Hi!

    Sorry Leute, hab ne Sachfrage!

    Kann mir jemand mal bitte anschaulich erklären, was genau ein Grenzwert ist?! Ich hab das nie so richtig verstanden... Entweder sind wir irgendwie alle dumm, weil alle, die ich gefragt hab, wusstens auch nich, oder keine Ahnung...

    Ich will nichts mit Folgen wissen, sondern einfach nur wasn Grenzwert ist und wie ich diesen jeweils bestimme, weil man ja manchmal bestimmen muss wogegen x bei ner Funktion läuft!

    Mathe is echt meine Schwäche, bitte helft mir, thanx!
     
    #1
    Shakti, 11 Oktober 2005
  2. zartbitter
    zartbitter (28)
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Der Grenzwert ist unendlich nah an einem bestimmten wert.

    Habe ich also

    lim
    a -> b

    dann ist a unendlich nah an b.
    Daher kann man praktisch sagen a = b

    Hoffe stimmt so^^
     
    #2
    zartbitter, 11 Oktober 2005
  3. Lt. Cmdr. Data
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Ein Grenzwert bei einer Funktion ist derjenige Wert gegen den diese Funktion konvergiert wenn x gegen einen bestimmten Wert läuft.

    Beispiel:
    Code:
    f(x) = 1/x
    lim f(x) = 0
    x->oo
    
    Denn wenn x immer größer wird, so wird der Wert der Funktion immer kleiner (1/2, 1/3, ... 1/100000000), bewegt sich also auf die 0 zu ohne diese zu erreichen.
     
    #3
    Lt. Cmdr. Data, 11 Oktober 2005
  4. Shakti
    Shakti (28)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Schreibt so viele Versionen ihr könnt bzw. was ihr wisst! Vielleicht raff ichs auch sogar irgendwann... :cry:

    Woher weiß man z.B. dass der Grenzwert 0 ist, wie bestimmt man ihn???


    ergo: z.B. lim x-->0 x ist unendlich nah an 0 :ratlos: Hä?

    Ich glaub nich dass dann a=b stimmt, für a kann jeder beliebige Wert eingesetzt werden... Man muss das a gegen irgendwas laufen lassen...aber was?
    Und unser Mathelehrer meinte irgendwas von, wo sich die beiden Seiten treffen oder so?!?!?!?
     
    #4
    Shakti, 11 Oktober 2005
  5. SadNessie
    Verbringt hier viel Zeit
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    nicht angegeben
    also, du hast irgendeine Funktion f (x)

    für x jetzt du jetzt jede beliebige Zahl ein (x->oo)

    und du schaust eben, was dann dabei rauskommt, wenn x gegen unendlich geht
     
    #5
    SadNessie, 11 Oktober 2005
  6. Shakti
    Shakti (28)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Danke...aber...naja.... :schuechte ...so ganz...

    Wieso isses dann bei ner Normalparabel 0, wenn es doch gegen +oo geht, wenn man umso größere/kleinere Zahlen einsetzt, also in x²??
    Aber ich hab das noch nie gesehn dass da steht
    lim
    x->+oo

    Also wieso isses 0?? (vielleicht war des das, wo sich die beiden treffen?)

    Und dann, was is linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert??

    Grenzwert...Die Grenze wovon genau isses? Definitionsbereich oder was?? (Wie kann ich mir das vorstellen?)

    Aber trotzdem danke für die Hilfe!
     
    #6
    Shakti, 11 Oktober 2005
  7. GSi
    GSi (35)
    Verbringt hier viel Zeit
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    nicht angegeben
    Hat zwar Lt. Cmdr. Data schon gut erklärt, vielleicht hilft Dir ein Schaubild zu der Funktion f(x) = 1/x: http://id.mind.net/~zona/mmts/functionInstitute/rationalFunctions/oneOverX/pic4.gif
    Da sieht man ja sofort, dass für immer größer werdendes x die Funktion sich an die x-Achse annähert, also y gegen 0 strebt.

    aber noch mal ein Beispiel dazu:

    f(x) = 1/x + 5
    Dann ist der Grenzwert für x->oo 5, weil 1/x gegen 0 geht.


    f(x) = x³ + 2x² + 4x + 5
    Für x->oo :
    lim f(x) = oo + oo + oo + 5 = oo


    Kannst Du deine Frage zur Parabel nochmal genauer erklären?
     
    #7
    GSi, 11 Oktober 2005
  8. Serendipity84
    Verbringt hier viel Zeit
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    91
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    nicht angegeben
    Die Frage mit der Parabel hab ich auch nicht verstanden.

    Links- bzw. Rechtsseitiger Grenzwert sagt aus, von welcher Seite sich deine Funktion dem Grenzwert annähert, ob sie als zum Beispiel von der Seite der negativen Zahlen gegen die Null geht oder von der Seite der positiven Zahlen.

    Der Grenzwert ist wohl eher die Grenze vom Bildbereich. Dein x bewegt sich innerhalb des Definitionsbereichs zum Beispiel gegen unendlich und die Funktion f(x) bewegt sich innerhalb des Bildbereichs und nähert sich dem Grenzwert an.
     
    #8
    Serendipity84, 11 Oktober 2005
  9. Shakti
    Shakti (28)
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    Single
    Mit der Parabel meinte ich dass so, dass der Grenzwert von der doch 0 ist... aber, so wie ichs jetzt verstanden hab, müsste der doch irgendwie +oo sein, wenn man immer größere Zahlen z.B. einsetzt, oder?!
    Oder wie ist das?
    Also bestimm ich den Grenzwert so, dass ich immer größere Zahlen einsetz, ja?!Aber da käm doch dann häufig + oder -oo raus, wie soll man das dann bei lim x->+/-oo einsetzen?...das wär doch unbrauchbar...hä? sonst sind das doch auch Zahlen...
    Versteht das jemand?
    Nich dass irgendwie die Funktionen aufeinander zugehn oder sowas???

    Die Grenze von was? Bildbereich...also doch ID?
     
    #9
    Shakti, 11 Oktober 2005
  10. JAS
    JAS (49)
    Verbringt hier viel Zeit
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    Single
    Ich nehme an, daß es schon bei der Vorstellung Probleme gibt.

    Nehme die Funktion f(x) = 1/x wie schon vorher genannt.
    Karopapier nehmen und Achsenkreuz xy einzeichnen.
    Dann mal ein paar Werte in die Funktion einsetzen, z.B. 1, 2, 5, 10. Die errechneten Werte in das Achsenkreuz einzeichnen. Du siehst, daß mit steigendem x-Wert die Funktion immer näher an den Wert 0 herankommt, ihn aber nie wirklich erreicht. Es gibt keine Zahl, die in die Funktion eingesetzt den Wert 0 ergibt. Deswegen spricht man von lim = 0. Limes ist das lateinische Wort für Grenze. Man kann sich einer Grenzmauer beliebig nähern, ohne die tatsächliche Grenze wirklich zu erreichen.
    Lasse danach mal die Zahlen kleiner als 1 werden, 0,5 0,2 0,1 ... auch wieder aufzeichnen.
    Danach das ganze Spielchen mit den selben Zahlen aber negatives Vorzeichen.
    Wenn man das als Bild vor Augen hat, wird die ganze Sache mit den Grenzwerten einfacher.
    Ihr werdet vermutlich nur einfache Zahlen als Grenzwerte ermitteln müssen. Man kann auch bei Grenzwertbetrachtungen neue Funktionen herausbekommen...

    JAS
     
    #10
    JAS, 11 Oktober 2005
  11. GSi
    GSi (35)
    Verbringt hier viel Zeit
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    91
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    nicht angegeben
    Also nen Grenzwert kannst Du für jeder beliebige Stelle bilden. Du kannst Dein x gegen unendlich gehen lassen, Du kannst es gegen 0 gehen lassen oder auch gegen ne bestimmte Zahl.

    Nehmen wir die Parabel x² + 3:
    für x -> oo ist der Grenzwert oo
    für x -> 0 ist der Grenzwert 3
    für x -> 2 ist der Grenzwert 4 + 3 = 7

    Es kommt halt immer auf die Aufgabenstellung an. Wenn Du mal ein paar von Deinen Aufgaben hier reinschreibst, kann man die ja mal mit Lösungsweg erklären :zwinker:
     
    #11
    GSi, 11 Oktober 2005
  12. Lt. Cmdr. Data
    Verbringt hier viel Zeit
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    0
    Single
    Wobei man das auch gleich mit dem Mächtigkeitssatz erschlagen kann :zwinker:

    Links- und rechtsseitiger Granzwert ... ich denke das hast du im Zusammenhang mit Differenzierbarkeit gehört.
    Eine Funktion ist differenzierbar im Punkt x wenn sie dort stetig ist und der rechts- und linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten identisch sind = Ableitung.
    (Hoffentlich hab ich jetzt keinen Unfug erzählt ... *leicht angestaube Mathe-Kenntnisse*)
     
    #12
    Lt. Cmdr. Data, 11 Oktober 2005
  13. munichboy87
    0
    Also ich verscuhs auch nochmal:
    Der Grenzwert ist der y-Wert, den die Funktion erreicht (gegen den die Funktion geht) wenn man dem x-Wert folgt...zum Beispiel nach gegen unendlich, -unendlich, 0, ???,...

    Also bei der Normalparabel geht der Grenzwert von X gegen + UND - undendlich nach unendlich (y-Wert). Is ja auch logisch die parabel is nach oben geöffnet und hört nie auf (hat keinen Höhepunkt)

    Es gibt auch Grenzwere an Asmptoten da berechnet man dann gerne den GW von links und den von rechts, weil das ja meistens unterschiedliche Werte sind (bei x<a gehts zum beispiel gegen -unendlich und bei x>a gegen +uenendlich) d.h. du näherst dich dem x wert von a aus.

    Hoffentlich hats geholfen...
     
    #13
    munichboy87, 11 Oktober 2005
  14. JAS
    JAS (49)
    Verbringt hier viel Zeit
    105
    101
    0
    Single
    Prinzipiell kann man für jeden beliebigen Wert den Grenzwert ermitteln.
    Nur was bringt es, wenn man den Wert ohne "ERROR" sofort in die Funktion einsetzen kann?
    Grenzwerte sind eigentlich nur dann interessant, wenn man den gewünschten Wert nicht direkt in die Funktion einsetzen darf!

    JAS
     
    #14
    JAS, 11 Oktober 2005
  15. Event Horizon
    Verbringt hier viel Zeit
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    vergeben und glücklich
    Nochwas: Es kann unterschiedliche Grenzwerte geben, wenn man sich von unterschiedlichen Seiten dem angegebenen Wert nähert. Guck dir mal 1/x an, und denk drüber nach, wenn man sich von links und von rechts x=0 nähert.
    lim [x->0 von links] 1/x = -oo
    lim [x->0 von rechts] 1/x = +oo

    Man drückt das so aus, daß man hinter der 0 ein tiefgestelltes + für von rechts, aus dem positiven oder ein - für von links, aus dem negativen schreibt. Also z.B.

    lim [x->0_ ] 1/x = -oo

    ***
    Wie berechnet man Grenzwerte?

    Nun, man muß wissen, wie Funktionen aussehen. So ist lim [x->-oo] e^x=0.
    Sowas wie 1/x, 1/x², 1/x³ strebt immer gegen 0, wenn x-> +oo oder -oo läuft.

    x, x², x³,... streben alle nach (+ oder -) oo

    Was man auch oft in der Schule macht:

    Wogegen strebt für x-> (+ oder -)oo

    x²+3x


    Das rechnet man per Polynomdivision aus und erhält


    x²+3x


    =1/x + 3/x²

    und das strebt gegen null, weil die einzelteile gegen null gehen!

    Anderer Fall:

    x³+3x²


    =1 + 3/x

    weil 3/x gegen 0 geht, wird der gesamte Teil gegen 1 gehen!

    Anderer Fall:

    x³+3x


    =x + 3/x

    weil 3/x gegen 0 geht, bleibt x. Hier gibts keinen Grenzwert, sondern ne Grenzfunktion! Je weiter nach außen du also im Koordinatensystem gehst, desto mehr ähnelt die Funktion der Graden y=x
     
    #15
    Event Horizon, 11 Oktober 2005
  16. GSi
    GSi (35)
    Verbringt hier viel Zeit
    38
    91
    0
    nicht angegeben
    Da hast Du vollkommen recht. Hab das nur geschrieben, damit nicht der Eindruck entsteht, es muss immer x gegen unendlich sein, kam mir nämlich so vor:
     
    #16
    GSi, 11 Oktober 2005
  17. JAS
    JAS (49)
    Verbringt hier viel Zeit
    105
    101
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    Single
    Alles klar?

    [​IMG]


    Das stammt übrigens aus:
    Schüler-Mathematik-Duden 2,
    Die Neue Mathematik (11. - 13. Schuljahr)
    Erscheinungsdatum 1968

    Erbstück von meinem verstorbenen Onkel, Mathepauker.

    JAS
     
    #17
    JAS, 11 Oktober 2005

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