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  • dreader
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    27 September 2006
    #1

    Matheproblem Strecken im Koordinatensystem

    Hey, ich hoffe man kann mir hier helfen!

    Ich bin in der 11. Klasse auf dem Gymnasium und wir haben gerade das Thema "Berechnen vo Strecken im Koordinatensystem" oder so ähnlich.

    Wir haben im Unterricht eine Formel bekommen um den Mittelpunkt einer Strecke berechnen zu können, wenn man die zwei Endpunkte hat, nämlich einfach den Mittelwert des X-Wertes und den Mittelwert des Y-Wertes ergeben die Koordinaten des Mittelpunktes.

    Also: M(1/2(X1+X2) / 1/2(Y1+Y2)


    Klingt bisher ja auch ganz logisch.

    Jetzt heben wir die Aufgabe bekommen, das ganze nicht für eine Halbierung zu machen, sondern für eine Drittelung.

    Meine Überlegung einfach in der Formel 1/2 durch 1/3 bzw 2/3 zu ersetzen sind leider falsch gewesen :geknickt: :geknickt: (durch ausprobieren herausgefunden).

    Hier gibt es doch bestimmt ein paar Mathegenies für die es einfach sein sollte.

    PS: Es sollte aber nicht hochkompliziert sein! :smile: :zwinker:
     
  • Olga
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    vergeben und glücklich
    27 September 2006
    #2
    Wie genau sah deine Formel denn aus? Ich hab es grade ausprobiert und mit (2/3) (x1+x2) / (1/3) (y1+y2) habe ich das Richtige herausbekommen.
     
  • dreader
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    27 September 2006
    #3
    Ich habs mit (1/3 (X1+X2) / 1/3 (Y1+Y2)) versucht, aber das funktioniert nicht.

    Wie meinst du das, beim X-Wert 2/3 und beim Y-Wert 1/3, oder wie???

    Edit: habs grad versucht und ich land nicht mal auf der Geraden...
     
  • Olga
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    vergeben und glücklich
    27 September 2006
    #4
    Ich hatte eben willkürlich irgendwelche Zahlen gewählt, da hat es hingehauen, hab es anhand einer Skizze probiert.

    Sicher, dass du dich nicht verrechnet hast?
     
  • Steirerboy
    Steirerboy (39)
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    vergeben und glücklich
    27 September 2006
    #5
    Olga hat reicht, ich tipp auch auf einen Rechenfehler.
     
  • dreader
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    27 September 2006
    #6
    ich habs grad mit den Punkten (1/1) und (11/11) ausprobiert. Laut dieser Formel ist der 1. Punkt dann (4/4) und das ist viel zu nah an (1/1), das ist rein angeschaut (und auch gemessen :smile: ) nie 1/3 der Strecke.

    Aber trotzdem schonmal Danke für die Hilfe!
     
  • Trogdor
    Trogdor (41)
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    27 September 2006
    #7
    Ne, 2/3 bei X1/y2 und 1/3 bei X2/Y2
    bzw. umgekehrt für den anderen Drittelpunkt.
    Edit:
    Das kannst Du Dir übrigens recht gut herleiten:
    Betrachte jetzt mal nur die X-Werte, P1 hat X1 P2 hat X2. Der Abstand ist (x2-X1). Wenn Du also 1/3 von X1 nach X2 gehen willst, ist die Strecke gerade 1/3(X2-X1) lang. Wenn man jetzt die Koordinaten dieses Punktes will, muss man ja noch beachten, dass man nicht vom Ursprung sondern von P1 kommt, also noch dessen Koordinaten dazuzählen muss. Der X-Wert des Drittelpunktes is also X1+1/3(X2-X1)=2/3 X1 + 1/3 X2.
    Und für Y gilt genau das gleiche.
     
  • User 22359
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    27 September 2006
    #8
    Auf die Gefahr hin deine Hausaufgaben nun zu machen, und das das ganze viel zu kompliziert ist (ich hab deine Version jetzt nicht getestet bzw. mich um dessen Beweis bemüht), einfach mal ein wenig Geometrie:
    Gegeben sind die beiden Punkte P1=(x1,y1) und P2=(x2,y2). Gesucht ist P3 (x3,y3).
    Wir zeichnen die Verbindungslinie zwischen den Punkten P1 und P2 ein und nennen sie mal s. Dann existiert der Winkel alpha zwischen s und der Verbindungslinie x2-x1 (Korrekterweise müsste man hier jeweils den Betrag angeben, aber ich geh jetzt mal davon aus, das x2>x1 und y2>y1 ist). Den zu bestimmen ist nicht sonderlich schwer, denn dank Tangenz gilt:
    tan(alpha)= Gegenkathete/Hypotenuse = (y2-y1)/(x2-x1)
    und somit alpha = arctan ((y2-y1)/(x2-x1)).
    Aber nun zum eigentlichen Problem, der Streckendrittelung. Nun, wir haben also unser Steigungsdreieck, und nach Satz des Pythagoras gilt a^2+b^2=c^2. In unserem Fall:
    s^2 = (y2-y1)^2+(x2-x1)^2
    Nun, wir wollen s/3 wissen, also lösen wir nach s auf und teilen beide Seiten durch 3:
    s / 3 = Wurzel((y2-y1)^2+(x2-x1)^2) / 3.
    Soweit so gut, jetzt müssen wir nur noch diese Strecke auf unsere Koordinatenachsen projezieren. Dazu verwenden wir sinus und cosinus:
    cos (alpha) = (x3-x1) / s/3
    <=> (x3-x1)= cos(alpha) * s/3
    <=> x3= cos(alpha) * s/3 + x1
    sin (alpha) = (y3-y1) / s/3
    <=> (y3-y1)= cos(alpha) * s/3
    <=> y3= cos(alpha) * s/3 + y1

    Damit sollten die Werte alle vorhanden sein die man benötigt.
    (Das ganze ist mathematisch stark vereinfacht und eventuell nicht Fehlerfrei, aber mit ner Zeichnung sollte das ganze einigermassen deutlich werden)
     
  • desh2003
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    27 September 2006
    #9
    Vektoriell?

    Als Aufpunkt nimmst du P1 (x1,y1) als Richtungsvektor die Differenz von P1P2 (P2-P1). Dann multiplizierst du den Richtungsvektor mit 1/3 bzw. 2/3.
     
  • SottoVoce
    SottoVoce (35)
    Sehr bekannt hier
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    27 September 2006
    #10
    Also, wir hatten Vektoren erst in 12 und 13, dann wird er in der 11. damit eventuell noch nix anfangen können...
     
  • StolzesHerz
    Benutzer gesperrt
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    27 September 2006
    #11
    Man wie gut, dass ich das hinter mir habe! :cool1:
     
  • Olga
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    28 September 2006
    #12
    Ich find's grad eher deprimierend, dass ich sowas nicht mehr kann... vor anderthalb Jahren konnte ich noch mit e-Funktionen und was weiß ich rechnen, und jetzt scheiter ich an sowas :ratlos:. Vielleicht sollte man in 12/13 doch besser das Alte wiederholen ;-).
     
  • dreader
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    28 September 2006
    #13
    Off-Topic:
    komm grad von 10 Stunden Schule zurück *stöhn*


    @ Trogdor: Hey danke, jetzt hab ichs gecheckt!!!
    Hab den X-Wert und den Y-Wert des Punktes vergessen.

    @ maplan:
    Des müsst so auch gehen (habs jetzt net nachgerechnet), aber das von Trogodor und Olga ist doch ein bisschen einfacher!

    @ desh2003:
    Ich hab zwar schon was von Vektoren gehört, aber in der Schule hatten wir sie noch nicht!

    Danke an alle!!!
     
  • Olga
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    vergeben und glücklich
    28 September 2006
    #14
    Also, ehrlich gesagt, entweder ich hab mich selber verrechnet oder das von mir stimmt nicht... aber ich hab es ein paar Mal mit deinen Werten probiert und nie kam das richtige raus :ashamed:.

    Welche Lösung stimmt denn jetzt endgültig?
     
  • kiker99
    kiker99 (31)
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    28 September 2006
    #15
    hm so schwierig finde ich das ganze jetzt nicht, gut hatte auch mathe lk :-p

    also die von dir genannte formel für 2 Punkte basiert auf folgender formel, die etwas umgeformt wurde:
    P(x1+(x2-x1)/2,y1+(y2-y1)/2)

    Die Logik dahinter: du gehtst vom Punkt (x1/y1) aus, deshalb fangen die berechnungen beider koordinaten damit an. dann addierst du die hälfte der differenz zum 2. punkt in die jeweilige koordinate (z.B. (x2-x1)/2).

    So, das überträgst du dann einfach auf 1/3 und erhälst:
    P(x1+(x2-x1)/3,y1+(y2-y1)/3)

    Schöne Grüße und ich hoffe mal das war jetzt nicht umsonst beschrieben :zwinker:
     
  • dreader
    Verbringt hier viel Zeit Themenstarter
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    nicht angegeben
    29 September 2006
    #16
    Bis dahin find ich das hoffentlich auch nicht mehr schwer :smile::tongue:

    Jetzt hab ich ja auch kapiert, ich hatte nur einen Denkfehler :smile:.

    Nachdem jetzt alles geklährt ist, ist das Thema eigentlich erledigt!
     

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